Ejercicios Resueltos de Probabilidad [Paso a paso]

Vamos a ir publicando en este posteo muchos ejercicios resueltos de probabilidad básica.

Lo que se conoce cómo «probabilidad básica» es lo relativo a probabilidades marginales, conjuntas, condicionales, sucesos independientes, mutuamente excluyentes, etc.

Sin meternos con el tema de distribuciones de probabilidad… sólo conociendo el experimento aleatorio, teniendo algunos datos,  y usando  propiedades de la unión, intersección, complemento de sucesos, etc.

¡Empecemos !

(Cualquier duda podés dejarla en los comentarios, o escribirme por acá)

Ejercicios resueltos de probabilidad básica -#1

El \(15 \% \) de la población padece de hipertensión, pero el \(75 \% \) de los adultos cree no tener ese problema.

De los que tienen hipertensión, el \(6 \% \) cree que no tiene esta enfermedad.

Si un paciente cree que no tiene hipertensión, ¿cuál es la probabilidad de que en realidad si tenga esa enfermedad?

Resolución del ejercicio 1

El experimento aleatorio consiste en elegir al azar un paciente de la población, y analizar sobre ese paciente dos cosas:

• ¿Tiene o no tiene hipertensión?, y
• ¿CREE que tiene o CREE que no tiene hipertensión?

Una cosa sería la realidad, y la otra la percepción sobre esa realidad por parte del paciente.

Simbolicemos a los sucesos de interés así:

• \(H\): el adulto padece de hipertensión
• \(\bar H\): el adulto no padece de hipertensión
• \(C\): el adulto cree que padece de hipertensión
• \(\bar C\): el adulto cree que no padece de hipertensión

Una buena forma de representar la información que tenemos es en una tabla de probabilidades conjuntas.

Una dimensión es si tiene o no hipertensión (en columnas), y la otra que es lo que percibe (en filas):

En la tabla colocamos en los «márgenes» los dos datos que nos da el enunciado.

• \(P\left( H \right) = 0,15\)
• \(P\left( {\bar C} \right) = 0,75\)

También colocamos un 1 en la esquina inferior derecha. Eso representa que la suma de las probabilidades de tener y no tener hipertensión es 1 (porque son sucesos complementarios).

La probabilidad de tener hipertensión es \(P\left( H \right) = 0,15\), luego por la propiedad de sucesos complementarios:

\[P\left( {\bar H} \right) = 0,85\]

Eso es fácil verlo directamente en la tabla. \(0,15  \) debe sumarse con \(0,85  \) para dar \(1 \).

También sabemos que \(P\left( {\bar C} \right) = 0,75\), luego:

\[P\left( C \right) = 0,25\]

Entonces:

¿Cómo interpretar la oración: “De los que tienen hipertensión, el 6% cree que no tiene esta enfermedad “? Es la probabilidad de creer que no se tiene hipertensión cuando en realidad si se la tiene. Una probabilidad condicional:

\[P\left( {\bar C|H} \right) = 0,06\]

La probabilidad condicional no “aparece” en este tipo de tabla.

Si embargo conociendo la condicional \(P\left( {\bar C|H} \right) = 0,06\) y la marginal \(P\left( H \right)\), podemos averiguar la probabilidad conjunta.

Usando la regla de la multiplicación:

\[P\left( {H \cap \bar C} \right) = P\left( H \right).P\left( {\bar C|H} \right)\]

\[P\left( {H \cap \bar C} \right) = 0,15.0,06 = 0,009\]

Completando la tabla:

Ahora es «fácil» averiguar el resto de las probaiblidades conjuntas.  Mirando la fila 2, sabemos que \( 0,009\) sumado con \(P\left( {\bar H \cap \bar C} \right)\)  debe ser \(0,75\).

Con la misma lógica para la fila 1 y la columna 1 obtenemos:

 

Preguntan: Si un paciente cree que no tiene hipertensión [esta es la condición] ¿Cuál es la probabilidad de que en realidad si tenga esa enfermedad?

Es decir:

\[P\left( {H\;|\;\bar C} \right)\]

Usando la definición de probabilidad condicional

\[P\left( {H\;|\;\bar C} \right) = \frac{{P\left( {H \cap \bar C} \right)}}{{P\left( {\bar C} \right)}}\]

Cómo en la tabla ya averiguamos numerados y denominador:

\[P\left( {H\;|\;\bar C} \right) = \frac{{P\left( {H \cap \bar C} \right)}}{{P\left( {\bar C} \right)}} = \frac{{0,009}}{{0,75}} = 0,012\]

Con esto ya está resuelto el ejercicio.

Ademas de la tabla de doble entrada que usamos, podríamos haber representado la información en un diagrama de Venn:

 

Ejercicios resueltos de probabilidad básica -#2

Un dado “A” está cargado de tal forma que, el 40% de las veces sale “1”. Otro dado “B” está cargado también y sale “1” un 70% de las veces.

a) Si se selecciona al azar un dado cualquiera y se lo tira, ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1?

b) Si se selecciona al azar un dado y al tirarlo salió “1”, ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea el dado A?

 

Resolución del ejercicio 2

La situación es la siguiente: hay dos dados A y B. Se elije uno de ellos, al azar.

Además la probabilidad con la que sale el 1 en cada uno de ellos es diferente. (0,5 para A y 0,7 para B).

Cómo siempre vamos a definir cuál es el experimento aleatorio y los sucesos.

Experimento aleatorio: Se elige al azar entre uno de dos dados A y B. Luego se arroja el dado elegido y se observa si el número que sale en la cara superior es 1 o no es 1.

Hay que ver que este experimento aleatorio está compuesto de «dos pasos aleatorios».

Primero se elige el dado. Eso ya puede dar un resultado: o sale A o sale B.

Después se arroja el dado… y eso puede también dar dos resultados: que salga 1 o que no salga 1.

El experimento aleatorio está compuesto de esos dos pasos.

Entonces los resultados elementales que se observan son compuestos (tipo de dado, y resultado).

Intentemos construir el espacio muestral:

1. sale el dado A y el número 1 (\(A1\))
2. sale le dado A y no sale el número 1 \(\left( {A\bar 1} \right)\)
3. sale el dado B y el número 1 (\(B1\))
4. sale el dado B y no sale el número 1 (\(B\bar 1\))

\[S = \left\{ {A1,A\bar 1,B1,B\bar 1} \right\}\]

Definamos los sucesos asociados a este experimento aleatorio que son mencionados en el enunciado.

Sucesos:

• \(A\): sale elegido el dado A
• \(B\): sale elegido el dado B
• \(1\): al arrojar el dado, sale el número 1 en la cara superior

Ítem a

Realicemos un diagrama de Venn en el que ubicar a los sucesos.

Con la ayuda de este diagrama podemos establecer con la notación de probabilidades que:

\[P\left( A \right) = 0,5\]

\[P\left( B \right) = 0,5\]

\[P\left( {1\;|\;A} \right) = 0,4\]

\[P\left( {1|\;B} \right) = 0,7\]

A partir de esta información podemos averiguar, usando el teorema de la probabilidad total, cuál es la probabilidad de sacar un 1 en la cara superior del dado.

\[P\left( 1 \right) = P\left( {1 \cap A} \right) + P\left( {1 \cap B} \right)\]

No es necesario realizar un diagrama de árbol, pero puede ayudar mucho a entender mejor la situación. Recordemos que se trata de un experimento aleatorio que se realiza «en dos pasos»:

Calculamos entonces la probabilidad de que salga 1 en la cara superior del dado:

\[P\left( 1 \right) = P\left( {1 \cap A} \right) + P\left( {1 \cap B} \right)\]

\[P\left( 1 \right) = P\left( A \right).P\left( {1|A} \right) + P\left( B \right),P\left( {1|B} \right)\]

\[P\left( 1 \right) = 0,5.0,4 + 0,5.0,7\]

\[P\left( 1 \right) = 0,2 + 0,35\]

\[P\left( 1 \right) = 0,55\]

Ítem b

Queremos averiguar la probabilidad de que, sabiendo que salió el número 1 al arrojar el dado, haya sido utilizado el dado A. Esto es una probabilidad condicional. Usando la fórmula de probabilidad condicional:

\[P\left( {A{\rm{|}}1} \right) = \frac{{P\left( {A \cap 1} \right)}}{{P\left( 1 \right)}}\]

\[P\left( {A{\rm{|}}1} \right) = \frac{{0,5.0,4}}{{0,55}} = \frac{{0,2}}{{0,55}} = 0,\widehat {36}\]

También se puede utilizar el teorema de Bayes. Porque hay definida una partición del espacio muestral (o bien se usa dado A o bien dado B) y un suceso definido en esa partición (sale el número 1 al arrojar el dado). Queremos averiuar la probabilidad de la parte (probabilidad de que se haya usado dado A) dado el suceso (sabiendo que salió un 1).

Ejercicios resueltos de probabilidad básica -#3

Dos expertos, \({E_1}\) y \({E_2}\), realizan peritajes para una cierta compañía de seguros. La probabilidad de que un peritaje haya sido realizado por \({E_1}\) es \(0,55\) y por \({E_2}\) es \(0,45\). Si un peritaje ha sido realizado por \({E_1}\), la probabilidad de que dé lugar al pago de una indemnización es de \(0,98\) y su ha sido realizado por \({E_1}\) la probabilidad de que dé lugar al pago de una indemnización es de \(0,90\).

a) Encontrar la probabilidad de que un siniestro dé lugar al pago de indemnización.

b) Un siniestro ha supuesto a la compañía el pago de una indemnización. Hallar la probabilidad de que el peritaje haya sido realizado por \({E_2}\).

Resolución del ejercicio 3

Ítem a

Simbolicemos:

\({E_1}\): el experto 1 realiza el peritaje

\({E_2}\): el experto 2 realiza el peritaje

\(I\): se paga indemnización

Conocemos la probabilidad con que realiza peritajes cada experto:

\[P\left( {{E_1}} \right) = 0,55\;\;\;\;,\;\;\;\;\;P\left( {{E_2}} \right) = 0,45\]

Y también conocemos la probabilidad condicional de que haya indemnización dado que cierto experto realizó el peritaje:

\[P\left( {I{\rm{|}}{E_1}} \right) = 0,98\;\;\;,\;\;\;\;p\left( {I|{E_2}} \right) = 0,9\]

El suceso \(I\) se puede expresar cómo unión de sucesos mutuamente excluyentes:

\[I = \left( {{E_1} \cap I} \right) \cup \left( {{E_2} \cap I} \right)\]

Por el axioma de probabilidad de la unión de sucesos mutuamente excluyentes:

\[P\left( I \right) = P\left( {{E_1} \cap I} \right) + P\left( {{E_2} \cap I} \right)\]

Por la regla de la multiplicación:

\[P\left( I \right) = P\left( {{E_1}} \right)P\left( {I|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)P\left( {I|{E_2}} \right)\]

Ahora reemplazamos con las probabilidades ya conocidas:

\[P\left( I \right) = 0,55.0,98 + 0,45.0,9\]

\[P\left( I \right) = 0,539 + 0,405 = 0,944\]

Puede resultar útil hacer un diagrama de Venn o un diagrama de árbol para visualizar mejor la situación.

Ítem b

Es una pregunta que se puede resolver usando el teorema de Bayes.

La probabilidad buscada es \(P\left( {{E_2}{\rm{|}}I} \right)\). Por definición de probabilidad condicional esto es:

\[P\left( {{E_2}{\rm{|}}I} \right) = \frac{{P\left( {{E_2} \cap I} \right)}}{{P\left( I \right)}}\]

Ya calculamos en el ítem a, el numerador y denominador de esta expresión:

\[P\left( {{E_2}{\rm{|}}I} \right) = \frac{{0,405}}{{0,944}} = 0,4290\]

Ejercicios resueltos de probabilidad básica -#4

En un club deportivo hay 30 chicos y 30 chicas. La mitad de los chicos y la tercera parte de las chicas juegan al tenis.

a) Completar la siguiente tabla:

b) Si se elige uno de los jóvenes al azar:

i) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico?

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que no juegue al tenis?

iii) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica si juega al tenis?

Resolución del ejercicio 4

Ítem a

Son 30 chicos y la mitad de los chicos juega al tenis. Entonces 15 chicos juegan al tenis.

Son 30 chicas y la tercera parte de ellas juega al tenis. Entonces 10 chicas juegan al tenis.

Podemos empezar a completar la tabla con estos datos:

Ahora por “sumas y restas” podemos calcular el resto de los valores. Por ejemplo: de los 30 chicos 15 juegan al tenis, luego otros 15 no juegan al tenis. De las 30 chicas 10 juegan al tenis, luego otras 20 no juegan tenis.

Con esta lógica completamos la tabla:

Ítem b

Para las preguntas siguientes usamos simplemente la probabilidad laplaciana (“casos favorables sobre casos posibles”).

Llamemos:

\(T\): el individuo elegido juega tenis

\(V\): el individuo elegido es varón

\(M\): el individuo elegido es mujer

¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico?

\[P\left( V \right) = \frac{{30}}{{60}} = \frac{1}{2} = 0,5\]

¿Cuál es la probabilidad de que no juegue al tenis?

\[P\left( {\bar T} \right) = \frac{{35}}{{60}} = \frac{7}{{12}} = 0,58\hat 3\]

¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica si juega al tenis? Es decir: la probabilidad condicional de que sea mujer dado que sabemos que juega al tenis: \(P\left( {M|T} \right)\).

Cómo sabemos que juega al tenis, consideramos que hay 25 resultados elementales posibles. Y hay 10 de esos 25 resultados que corresponden a chicas. Entonces:

\[P\left( {M|T} \right) = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5} = 0,4\]