Distribución binomial: ejercicios resueltos (Parte I)

Los siguientes son ejercicios resueltos de distribución binomial. Están tomados de la práctica 3 de la guía de ejercicios de Probabilidad y Estadística de UTN-FRBA (versión 2016).

Aclaraciones importantes:

1. Esta no es la explicación del tema “distribución binomial” (eso lo vamos a publicar en un posteo aparte). Así que es necesario tener claros los conceptos básicos de esa distribución antes de hacer los ejercicios.
2. No es recomendable leer la resolución de los ejercicios sin antes intentar resolverlos primero. No se aprende tanto leyendo una resolución, cómo enfrentandose uno mismo al problema. Si previamente trabajan sobre el ejercicio, después leer la resolución puede ser muy útil.

Cualquier comentario lo pueden dejar al final ;).

Ejercicio 1

La probabilidad de que el comprador de un osciloscopio haga uso del service dentro del plazo de garantía es 0,2. Para los 5 osciloscopios que cierta empresa ha vendido independientemente a 5 compradores este mes:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los compradores hagan uso de la garantía?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 o más compradores hagan uso de la garantía?

Resolución del ejercicio 1

Ítem a

Cada comprador puede hacer uso (éxito) o no (fracaso) de la garantía. La probabilidad elemental de éxito (probabilidad de que un único comprador haga uso de la garantía) es \(0,2\). Se consideran cinco osciloscopios (\(n = 5\)).

Entonces la variable binomial es:

\(X\): cantidad de compradores de osciloscopios que hacen uso de la garantía de un total de \(5\)

\[X \sim Binomial\left( {n = 5,p = 0,2} \right)\]

Ya conocemos todos los datos para calcular la probabilidad pedida:

\[P\left( {X = 3} \right) = 0,0512\]

Pero… ¿Cómo calculamos esa probabilidad binomial?

Las probabilidades binomiales se pueden calcular:

• Usando la fórmula de probabilidad puntual de la binomial
• Usando software (Excel, GeoGebra, o Probability Distributions)
• Usando las tablas de probabilidades binomiales

Usando la fórmula de probabilidad puntual

\[P\left( {X = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right){0,2^3}{\left( {1 – 0,2} \right)^{5 – 3}} = 0,0512\]

Usando Probability Distributions

Probaiblity Distributions es una app que está para Android y iOS. Para calcular probabilidades binomiales: > Seleccionamos Distribución Binomial > Luego completamos los valores de \(n = 5\) , \(p = 0,2\) y \(x = 3\), y > elegimos la opción de probabilidad puntual:

Usando Excel

En Excel hay que escribir la función de probabilidades binomiales y completar los datos cómo se muestra a continuación:

Usando GeoGebra

GeoGebra es un software libre y gratuito que entre otras cosas sirve para calcular probabilidades. A continuación, un gif que vale más que mil palabras:

 

 

Con tabla de probabilidades puntuales binomiales

Hay muchas tablas con diferente estructura. Así que hay que conocer cada una para ver cómo leerla. En la que se muestra a continuación elegimos el valor de \(n\), el de \(x\) el de \(p\), y luego queda determinada la probabilidad \(P\left( {X = x} \right)\):

 

Ítem b

Usando alguno de los métodos explicados para calcular probabilidades binomiales podemos hallar \(P\left( {X \ge 3} \right)\):

\[P\left( {X \ge 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right)\]

\[P\left( {X \ge 3} \right) = 0,05792\]

En general cuando se piden probabilidades acumuladas a derecha se puede:

• Calcular las probabilidades puntuales y sumarlas. En este caso:

\[P\left( {X \ge 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right)\]

• O se puede usar la función de probabilidad acumulada a izquierda. De esa forma re-escribimos la probabilidad pedida en términos de una probabilidad acumulada a izquierda. En este caso:

\[P\left( {X \ge 3} \right) = 1 – P\left( {X \le 2} \right)\]

• O se puede usar software que calcule la probabilidad acumulada a derecha. Cómo Probability Distributions, o GeoGebra (pero no Excel).

 

Ejercicio 4

Los cuatro motores de un avión cuatrimotor (dos en cada ala) fallan, cada uno con probabilidad 0,04, en forma independiente, durante un trayecto de 20.000 kilómetros. El avión no entra en emergencia mientras funcionen sin fallar por lo menos dos motores:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión no entre en emergencia?
2. ¿Cuál será esa probabilidad si se agrega la restricción de que, al menos debe funcionar un motor en cada ala?

Resolución del ejercicio 4

Ítem a

Para responder a la pregunta “¿Cuál es la probabilidad de que el avión no entre en emergencia?”, vamos a definir una variable binomial.

\(X\): número de motores que fallan de un total de cuatro motores

\(X \sim Binomial\left( {n = 4,p = 0,04} \right)\)

Que el avión no entre en emergencia es equivalente a que la cantidad de motores que fallan sea menor o igual a dos.

\[P\left( {no\;entre\;en\;emergencia} \right) = P\left( {X \le 2} \right)\]

\[P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right){\rm{\;}}\]

Se pueden calcular las probabilidades puntuales usando la fórmula de probabilidad puntual de una variable binomial:

\{P\left( {X = 0} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right).{\left( {0,04} \right)^0}.{\left( {0,96} \right)^4} \cong 0,8493\]

\[P\left( {X = 1} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array}} \right).{\left( {0,04} \right)^1}.{\left( {0,96} \right)^3} \cong 0,1416\]

\[P\left( {X = 2} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right).{\left( {0,04} \right)^2}.{\left( {0,96} \right)^2} \cong 0,0088\]

\[P\left( {X \le 2} \right) \cong 0,8493 + 0,1416 + 0,0088 \cong 0,9998\]

También se puede usar GeoGebra para calcular la probabilidad binomial:

 

Ítem b

Ahora se agrega la restricción de que para que el avión no entre en emergencia debe funcionar al menos un motor en cada ala.

Llamemos \(A\) al suceso de que funciona al menos un motor en el ala izquierda y \(B\) al suceso de que funciona al menos un motor en el ala derecha.

Otra vez vamos a definir una variable binomial que nos ayude a calcular la probabilidad del suceso.

Sea \(Y\) el número de motores que funcionan bien en el ala izquierda.

La distribución de \(Y\) es:

\[Y \sim Bi\left( {n = 2;p = 0,04} \right)\]

\[P\left( A \right) = P\left( {Y \le 1} \right) = 0,9984\]

Pero cómo los motores fallan con la misma probabilidad independientemente del ala del avión entonces:

\[P\left( B \right) = 0,9984\]

Es posible expresar al suceso de que el avión no entra en emergencia cómo la intersección de A y B:

\[No\;entra\;en\;emergencia = A \cap B\]

Cómo los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes:

\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = {0,9984^2} = 0,9968{\rm{\;}}\]

 

Ejercicio 5

Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y que fallan con una probabilidad excesivamente alta de \(0,4\). Suponga también que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de sus motores.

1. Determine qué aeroplano, uno de \(4\) motores o uno de \(2\) motores, tiene mayor probabilidad de terminar el vuelo exitosamente
2. Determine lo mismo que en a) pero cuando la probabilidad de falla es \(0,2\)
3. ¿Cuál debe ser el valor de probabilidad de falla de un motor para que sea indiferente volar en un aeroplano de \(4\) motores que en uno de \(2\) motores?

Resolución del ejercicio 5

Ítem a

Vamos a definir variables binomiales que nos ayuden a responder la pregunta. Sean:

\(X\): número de motores que fallan de un total de cuatro motores.

\(X \sim Binomial\left( {n = 4,p = 0,4} \right)\)

\(Y:\) número de motores que fallan de un total de dos motores

\(Y \sim Binomial\left( {n = 2,p = 0,4} \right)\)

La probabilidad de que un avión de cuatro motores termine bien el vuelo es:

\[P\left( {X \le 2{\rm{\;}}} \right) = 0,8208\]

La probabilidad de que un avión de dos motores termine bien el vuelo es:

\[P\left( {Y \le 1} \right) = 0,84\]

A continuación una comparación de las distribuciones de X y de Y:

El avión de dos motores tiene más probabilidad de terminar el vuelo exitosamente.

Ítem b

Se trata el mismo problema, pero con otra probabilidad de éxito.

Probabilidad de que el avión de cuatro motores termine bien el vuelo:

\[P\left( {X’ \le 2{\rm{\;}}|{\rm{\;}}n = 4{\rm{\;}},{\rm{\;}}p = 0,2} \right) = 0,9728\]

Probabilidad de que el avión de cuatro motores termine bien el vuelo:

\[P\left( {Y’ \le 1{\rm{\;}}|{\rm{\;}}n = 2{\rm{\;}},{\rm{\;}}p = 0,2} \right) = 0,96\]

En este caso tiene mejor probabilidad de terminar el vuelo exitosamente el avión de cuatro motores.

Ítem c

Que sea indiferente volar en un avión de dos o cuatro motores, es equivalente a afirmar que la probabilidad de que el vuelo sea exitoso es la misma:

\[P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {Y \le 1} \right)\]

\[P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) = P\left( {Y = 0} \right) + P\left( {Y = 1} \right)\]

Cómo no conocemos la probabilidad elemental de éxito (el parámetro \(p\)) usamos la fórmula de probabilidad puntual para obtener una ecuación de incógnita \(p\):

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right).{p^0}.{\left( {1 – p} \right)^4} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array}} \right).{p^1}.{\left( {1 – p} \right)^3} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right).{p^2}.{\left( {1 – p} \right)^2}\]

\[ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right).{p^0}.{\left( {1 – p} \right)^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right).{p^1}.{\left( {1 – p} \right)^2}\]

Resolviendo la ecuación se encuentran los siguientes valores posibles para \(p\):

\[p = 0\;\;\;\; \vee \;\;\;p = 1\;\; \vee \;\;p = \frac{1}{3}\]

Notemos que los valores \(p = 0\) y \(p = 1\) eran obvios. Si los motores fallan siempre \(\left( {p = 1} \right)\) da igual en qué tipo de avión se viaje. Si los motores no fallan nunca \(\left( {p = 0} \right)\), también da igual en qué tipo de avión se viaje.