Distribución Exponencial: Ejercicios Resueltos

Vamos a ir publicando en este posteo muchos ejercicios resueltos de distribución exponencial.

La distribución exponencial es para una variable aleatoria contínua \(x\geq 0\), que tiene la siguiente función de densidad:

\[{f_{exp}}\left( x \right) = \beta .{e^{ – \frac{x}{\beta }}}\]

si se usa \(\beta\) como parámetro. O bien:

\[{f_{exp}}\left( x \right) = \frac{1}{\lambda }.{e^{ – \lambda x}}\]

si se usa \(\lambda\) como parámetro.

En esta publicación vamos a resolver ejercicios. Pero en otro posteo vamos a ver explicaciones más detalladas sobre esta distribución.

¡Empecemos !

(Cualquier duda podés dejarla en los comentarios, o escribirme por acá)

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Resolución del ejercicio 1

Definamos bien la variable y su distribución.

Definición de la variable:

\(X\): el tiempo de revisión del motor de un avión

La distribución de la variable \(X\) es:

\[X \sim Exponencial\left( {\beta = 22} \right)\]

Entonces podemos escribir su función de densidad de probabilidad

\[{f_{exp}}\left( x \right) = \frac{1}{{22}}{e^{ – \frac{x}{{22}}}}\;\;\;\;\;\;x \ge 0\]

Y también su función de distribución:

\[F\left( x \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;si\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0}\\{1 – {e^{ – \frac{x}{{22}}}}\;\;\;\;\;si\;\;\;\;\;x \ge 0}\end{array}} \right.\]

La gráfica de la función de distribución es (podés moverte en la gráfica arrastrando con el cursor):

A continuación graficamos la función de densidad. Con SHIFT y botón IZQUIERDO del mouse se puede mover el gráfico para reposicionarlo. Es posible mover el punto sobre el eje horizontal y ver dinámicamente el área acumulada a la izquierda del punto:

Ítem a

Queremos averiguar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a 10 minutos. Y conocemos la función de distribución de la variable. Así que basta con reemplazar por \(x = 10\) en la función de distribución.

\[P\left( {x < 10} \right) = F\left( {10} \right) = 1 – {e^{ – \frac{{10}}{{22}}}} = 0,3652\]

También se podría calcular (mediante integrales) el área comprendida entre \(x = 0\) y \(x = 10\). (O usando software cómo el applet que está más arriba que calcula el área acumulada a la izquierda).

Ítem b

Buscamos aquel valor de la variable que acumula a su derecha una probabilidad de \(0,1\). Equivalentemente podemos decir que ese valor de variable acumula a su izquierda una probabilidad de \(0,9\). Podríamos llamar \({x_{0,9}}\) a ese valor.

Aplicando logaritmos logramos despejar \({x_{0,9}}\) :

\[ \Rightarrow \;\;F\left( {{x_{0,9}}} \right) = 1 – {e^{ – \frac{{{x_{0,9}}}}{{22}}}} = 0,9\]

\[ \Rightarrow {e^{ – \frac{{{x_{0,9}}}}{{22}}}} = 0,1 \Rightarrow – \frac{{{x_{0,9}}}}{{22}} = \ln \left( {0,1} \right)\]

\[ \Rightarrow {x_{0,9}} = – 22.\ln \left( {0,1} \right) = 50,65\]

Ítem c

Si simbolizamos con \(C\) al costo de reparación y \(X\) es el tiempo de reparación… entonces:

\[C = 200 + 10X\]

\[E\left( C \right) = E\left( {200 + 10X} \right)\]

Usando propiedades de esperanza:

\[E\left( C \right) = 200 + 10E\left( X \right)\]

Sabemos que \(E\left( X \right) = 22\) entonces:

\[E\left( C \right) = 200 + 10\left( {22} \right) = 420\]

La esperanza del costo es de 420 unidades monetarias.

\[V\left( C \right) = V\left( {200 + 10X} \right)\]

Usando propiedades de la varianza:

\[V\left( C \right) = {10^2}.V\left( X \right)\]

\[V\left( C \right) = {100.22^2} = 48400\]

Resolución del ejercicio 2

Ítem a

\(X\): tiempo de vida de una lámpara especial.

Sabemos que la esperanza de una variable exponencial es \(E\left( X \right) = 1/\lambda \). Cómo la esperanza es 100, entonces \(\lambda  = 1/100\).

Entonces la distribución es:

\[X \sim Exponencial\left( {\lambda  = \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[P\left( {X > 30} \right) = 1 – P\left( {X \le 30} \right) = 1 – \left( {1 – {e^{ – \frac{{30}}{{100}}}}} \right) = {e^{ – \frac{{30}}{{100}}}} = 0,7408\]

Ítem b

\[P\left( {X > 80|X > 50} \right)\]

Por la propiedad de falta de memoria esta propiedad es igual a:

\[P\left( {X > 30} \right) = 0,7408\]

Probabilidad que ya habíamos calculado en el ítem a.

Ítem c

\[Y \sim Binomial\left( {n = 5,p = 0,7408} \right)\]

\[E\left( Y \right) = 5.0,7408 = 3,704\]

Resolución del ejercicio 3

Definamos con claridad la variable de distribución exponencial:

\(X:\) duración en horas de una batería de cierto modelo del fabricante

Recordemos que en una distribución exponencial la esperanza matemática (la media) coincide con el parámetro \(\beta \) de la distribución:

\[E\left( X \right) = \beta  = 5000\]

O si se usa el parámetro \(\lambda \;\) se obtiene:

\[E\left( X \right) = \frac{1}{\lambda } = 5000 \Rightarrow \lambda  = \frac{1}{{5000}}\]

Es decir que:

• Conocemos la distribución: exponencial
• Conocemos el parámetro de la distribución: \(\beta = 5000\) o bien \(\lambda  = \frac{1}{{5000}}\).

\[T \sim Exp\left( {\beta  = 5000} \right)\]

Entonces ya podemos escribir la función de densidad de la variable exponencial:

\[{f_{exp}}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0\;\;\;\;\;si\;t < 0}\\{\frac{1}{{5000}}{e^{ – \frac{t}{{5000}}}}\;\;\;si\;\;\;t \ge 0}\end{array}} \right.\]

Y también la función de distribución:

\[{F_{exp}}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0\;\;\;si\;\;x < 0}\\{1 – {e^{ – \frac{t}{{5000}}}}\;\;\;\;\;si\;\;\;\;t \ge 0}\end{array}} \right.\]

La pregunta que tenemos que responder es: ¿Qué duración informar, para que la duración real supere a esa duración informada un 90% de las veces?

La función de densidad es:

Buscamos una duración “baja”, para que el área a la derecha de esa duración sea de 0,9:

Podemos llamar \({t_{0,1}}\) a esa duración que buscamos (ya que deja 0,1 de área a izquierda).

\[{t_{0,1}}{\rm{\;\;}}|{\rm{\;\;\;}}P\left( {T \le {t_{0,1}}} \right) = 0,1\]

Es decir:

\[F\left( {{t_0}} \right) = 0,1\]

Usando la función de distribución:

\[1 – {{\rm{e}}^{ – \frac{{{t_{0,1}}}}{{5000}}}} = 0,1\]

\[ \Rightarrow {{\rm{e}}^{ – \frac{{{t_{0,1}}}}{{5000}}}} = 0,9\]

Aplicamos logaritmo natural a cada miembro:

\[ \Rightarrow  – \frac{{{t_{0,1}}}}{{5000}} = \ln \left( {0,9} \right){\rm{\;}}\]

\[ \Rightarrow {t_{0,1}} =  – 5000.\ln \left( {0,9} \right)\]

\[ \Rightarrow {{\rm{t}}_{0,1}} \cong 526,8\]

 

El fabricante debe informar que las baterias duran \(526,8\) horas, si quiere que la probabilidad de que una batería en particular supere esa duración sea del \(90\%\).