Ejercicios resueltos de distribución hipergeométrica

Los siguientes son ejercicios resueltos de distribución hipegeométrica. Están tomados de la práctica 3 de la guía de ejercicios de Probabilidad y Estadística de UTN-FRBA (versión 2017).

Aclaraciones importantes:

1. Esta no es la explicación del tema «distribución hipergeométrica» (eso lo vamos a publicar en un posteo aparte). Así que es necesario tener claros los conceptos básicos de esa distribución antes de hacer los ejercicios.
2. No es recomendable leer la resolución de los ejercicios sin antes intentar resolverlos primero. No sé aprende tanto leyendo una resolución, cómo enfrentandose uno mismo al problema. Si previamente trabajan sobre el ejercicio, después leer la resolución puede ser muy útil.

Cualquier comentario lo pueden dejar al final ;).

Acá van los ejercicios:

Ejercicio 1

Diez refrigeradores de cierto tipo han sido devueltos a un distribuidor debido al a presencia de un ruido oscilante agudo cuando el refrigerador está funcionando. Supongamos que 4 de estos 10 refrigeradores tienen compresores defectuosos y los otros 6 tienen problemas más leves. Si se examinan al azar 5 de estos 10 refrigeradores, y se define la variable aleatoria X: “el número entre los 5 examinados que tienen un compresor defectuoso”. Indicar:

1. La distribución de la variable aleatoria X
2. La probabilidad de que no todos tengan fallas leves
3. La probabilidad de que a lo sumo cuatro tengan fallas de compresor

Resolución del ejercicio 1

Ítem a

Ilustremos con un esquema la situación:

El tamaño de la población finita es de 10 \( \Rightarrow N = 10\). En esa población finita hay 4 éxitos (compresores defectuosos) y 6 fracasos (problemas más leves). \( \Rightarrow M = 4\). El tamaño de la muestra es de 5, \( \Rightarrow n = 5\).

Entonces la variable \(X\) número de refrigeradores con compresores defectuosos de un total de 5 analizados, tiene distribución:

\(X \sim Hipergeométrica\left( {N = 10,M = 4,n = 5} \right)\)

Ítem b

Es conveniente pensar cómo expresar en términos de X a la condición “que no todos tengan fallas leves”. Si no ocurre que todos tengan fallas leves, es porque alguno tiene compresores defectuosos. Es decir que \(X \ge 1\).

\(P\left( {X \ge 1} \right) = 1 – P\left( {X = 0} \right) = 1 – \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}6\\5\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\5\end{array}} \right)}} = 0,97619\)

En el siguiente video mostramos cómo calcular la probabilidad de una variable hipergeométrica usando una app (la app se llama Probability Distributions y se puede descargar desde acá):

Ítem c

“A lo sumo cuatro fallas de compresor” es equivalente a “cómo máximo cuatro fallas de compresor”. Es decir \(X \le 4\). Pero el recorrido de la variable es \(R\left( X \right) = \;\left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\). Entonces:

\(P\left( {X \le 4} \right) = 1\)

Ejercicio 2

Un grupo de amigos del secundario se reúnen en la casa de Laura para comer un asado. En este grupo hay 8 mujeres y 6 varones. De las mujeres 5 estudian letras y el resto exactas, mientras que de los varones sólo uno estudia letras y el resto exactas.

a) Si las primeras en llegar a la casa son tres chicas, ¿cuál es la probabilidad de que estudien lo mismo?

b) Si tres cualesquiera de ellos hacen el asado, ¿cuál es la probabilidad de que estudien lo mismo?

c) Si se seleccionan dos al azar de este conjunto de amigos y se define la variable aleatoria X: cantidad de amigos que estudian letras entre los dos elegidos, hallar el valor esperado y la varianza de X.

Resolución del ejercicio 2

Ítem a

Hagamos un esquema de la composición del grupo respecto a sexo y a estudios:

Si las primeras que llegan son tres chicas (Laura ya está en su casa…) entonces hay cuatro chicas (tres + Laura). La única forma de que estudien lo mismo es que estudien letras (no existen 4 chicas que estudien exactas en el grupo). Entonces Laura estudia Letras.

Son siete chicas las que pueden llegar a la casa de Laura (4 estudian letras y 3 exactas). Podemos considerar a esas siete chicas cómo la población, de la que se extraen aleatoriamente tres invididuos:

Definamos entonces la variable con distribución hipergeométrica:

\(X:\) cantidad de chicas que estudian letras entre las tres primeras en llegar a la casa de Laura (elegidas entre siete chicas en total)

\(X \sim Hipergeométrica\left( {N = 7,M = 4,n = 3} \right)\)

Para responder a la pregunta calculamos la probabilidad de que \(x = 3\):

\(P\left( {x = 3} \right) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\0\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\3\end{array}} \right)}} \cong 0,11429\)

 

 

Ítem b

En esta pregunta ya no interesa el sexo de cada uno sino lo que estudian. Tenemos la siguiente composición:

Podemos definir la variable \(Y\): cantidad de chicos que estudian letras de un total de 3 amigos elegidos aleatoriamente entre 14 amigos. Esa variable tiene distribución hipergeométrica con \(N = 14\), \(M = 6\), \(n = 3\).

Notemos que si \(Y = 3\) entonces los tres amigos estudian letras, pero si \(Y = 0\) entonces los tres amigos estudian exactas.

Luego la probabilidad que nos piden es:

\(P\left( {estudien\;lo\;mismo} \right)\)

\( = P\left( {Y = 0} \right) + P\left( {Y = 3} \right)\)

\( \cong 0,05495 + 0,15385\)

\( \cong 0,2088\)

Ítem c

Cómo conocemos la variable y sus parámetros, simplemente reemplazamos en las fórmulas de esperanza y varianza de una variable hipergeométrica.

\(X\): cantidad de amigos que estudian letras entre los dos elegidos

\(X \sim Hipergeométrica\left( {N = 14,M = 6,n = 2} \right)\)

\(E\left( X \right) = n\frac{M}{N}\)

\(E\left( X \right) = 2.\frac{6}{{14}} = \frac{6}{7} \cong 0,8571\)

\(V\left( X \right) = \left( {\frac{{N – n}}{{N – 1}}} \right)n.\frac{M}{N}.\left( {1 – \frac{M}{N}} \right)\)

\(V\left( X \right) = \left( {\frac{{14 – 2}}{{14 – 1}}} \right)2.\frac{6}{{14}}.\left( {1 – \frac{6}{{14}}} \right)\)

\(V\left( X \right) = \frac{{288}}{{637}} = 0,452\)

 

 

Ejercicio 3

En una partida de truco, asumiendo que el mazo se encuentra bien mezclado, se reparte una mano de cartas.

a) Hallar la probabilidad de que el jugador que recibe las primeras tres cartas tenga envido (dos cartas del mismo palo y una diferente)

b) Hallar la probabilidad de que el primer jugador tenga flor (tres cartas del mismo palo)

c) Hallar la probabilidad de que ambos tengan flor

d) Hallar la probabilidad de que el primer jugador no tenga ni flor ni envido

 

Resolución del ejercicio 3

Ítem a

Queremos calcular la probabilidad de tener dos cartas del mismo palo. Por ejemplo podríamos recibir: {espada,espada,basto}, pero también {oro, espada, oro}. ¿Cómo calcular esa probabilidad? La variable hipergeometrétrica puede ser útil para resolverlo. Podríamos definir una variable que cuente la cantidad de cartas de cierto palo (tomemos espada, por ejemplo) que recibimos entre las primeras tres. El siguiente diagrama puede ayudar a interpretar la situación:

\(X\): cantidad de cartas que son de espadas de las tres recibidas (tomadas de un total de 40)

\(X \sim Hipergeométrica\left( {N = 40,M = 10,n = 3} \right)\)

Cómo queremos la probabilidad de obtener exactamente dos cartas de espadas, entonces calculamos \(P\left( {X = 2} \right)\):

\(P\left( {X = 2} \right) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\2\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\1\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{40}\\3\end{array}} \right)}} \cong 0,13664\)

¿Y cómo será la probabilidad de obtener exactamente dos cartas de oro, o de copa o de basto? Debe ser la misma probabilidad, porque hay igual cantidad de cartas de cada palo. Luego :

\(P\left( {envido} \right) \cong 0,54656\)

 

 

Ítem b

Este ítem es muy similar al anterior. Sólo que no queremos que tenga dos cartas del mismo palo, sino tres cartas del mismo palo. Podemos usar la variable:

\(X\): cantidad de cartas que son de espadas de las tres recibidas (tomadas de un total de 40)

\(X \sim Hipergeométrica\left( {N = 40,M = 10,n = 3} \right)\)

Cómo queremos la probabilidad de obtener exactamente tres cartas de espadas, entonces calculamos \(P\left( {X = 3} \right)\):

\(P\left( {X = 3} \right) \cong 0,01215\)

Cómo la probabilidad es la misma para todos los palos, entonces:

\(P\left( {flor} \right) = 4P\left( {X = 3} \right) \cong 0,0486\)

 

Ítem c

Llamemos \({F_1}\) al suceso de que el jugador 1 tenga flor, y \({F_2}\) al suceso de que el jugador 2 tenga flor. Entonces la probabilidad que nos piden es:

\(P\left( {{F_1} \cap {F_2}} \right)\)

Para calcular esa probabilidad podemos usar la regla de la multiplicación:

\(P\left( {{F_1} \cap {F_2}} \right) = P\left( {{F_1}} \right).P\left( {{F_2}|{F_1}} \right)\)

Notemos que ya conocemos por haber resuelto el ítem b, cual es la probabilidad \(P\left( {{F_1}} \right)\). Sólo nos queda averiguar \(P\left( {{F_2}|{F_1}} \right)\).

Si ocurrió \({F_1}\) hay entonces \(37\) cartas restantes. La composición en palos es 10, 10, 10 , 7. Hay 10 cartas de cada uno de tres palos, y hay 7 cartas de aquel palo del cual es la flor del jugador 1. La flor del jugador 2 puede ser del mismo palo que la del jugador 1, o de diferente palo.

Llamemos \(M\) al suceso de que la flor del jugador 2 sea del mismo palo que la flor del jugador 1. Entonces podemos expresar a \({F_2}|{F_1}\) cómo unión de sucesos mutuamente excluyentes:

Deberemos hallar esas probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de \(M\)?

Consideremos la variable \(Y\): cantidad de cartas del mismo palo de la flor del jugador 1 que recibe el jugador 2. Su distribución es \(Y \sim Hipergeométrica\left( {N = 37,M = 7,n = 3} \right)\). Entonces si la variable \(Y\) toma el valor 3 ocurre \(M\):

\(P\left( M \right) = P\left( {Y = 3} \right) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\3\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\0\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{37}\\3\end{array}} \right)}} \cong 0,0045\)

¿Cuál es la probabilidad de \(\bar M\)?

Consideremos la variable \(Z:\) cantidad de cartas de un palo diferente de aquel de la flor del jugador 1 que recibe el jugador 2. Su distribución es \(Z \sim Hipergeométrica\left( {N = 37,M = 10,n = 3} \right)\). Entonces si la variable Z toma el valor 3 ocurre que el jugador 2 tiene una flor de distinto palo que el jugador 1:

\(P\left( {Z = 3} \right) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\3\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{27}\\0\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{37}\\3\end{array}} \right)}} \cong 0,01544\)

Esta probabilidad sería la misma para cualquiera de los tres palos. Así que:

\(P\left( {\bar M} \right) \cong 3.0,01544 \cong 0,04632\)

Luego:

\(P\left( {{F_2}|{F_1}} \right) = P\left( M \right) + P\left( {\bar M} \right)\)

\( \cong 0,0045 + 0,04632 \cong 0,05082\)

Entonces:

\(P\left( {{F_1} \cap {F_2}} \right) = P\left( {{F_1}} \right).P\left( {{F_2}|{F_1}} \right)\)

\(P\left( {{F_1} \cap {F_2}} \right) = 0,0486.0,05082 = 0,002469\)

Ítem d

Los sucesos:

\(F\): el primer jugador tiene flor

\(E\): el primer jugador tiene envido

\(N\): el primer jugador no tiene ni flor ni envido

¿Cómo son entre sí? Ilustremos en un diagrama la situación:

Son sucesos que se excluyen mutuamente. Y además son sucesos que unidos abarcan todo el espacio omuestral. Es decir: \(F\), \(E\) y \(N\) son sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Entonces cumplen que:

\(P\left( N \right) + P\left( E \right) + P\left( F \right) = 1\)

Ahora cómo conocemos \(P\left( E \right)\) y \(P\left( F \right)\) (lo averiguamos en ítems a y b) podemos calcular \(P\left( N \right)\):

\(P\left( N \right) = 1 – P\left( E \right) – P\left( F \right)\)

\(P\left( {\bar F \cap \bar E} \right) = 1 – 0,54656 – 0,0486\)

\(P\left( {\bar F \cap \bar E} \right) = 0,40484\)