Resolución de dos ejercicios de recta y plano de Matemática 1 UTDT (Examen Final 19-12-2014)

Matemática 1 – UTDT – Examen Final 19-12-2014

Esta publicación se desvía de los temas solemos publicar en el blog J

No trata sobre probabilidad o estadística, sino sobre la matemática que ven en Matemática 1 (Carrera de Arquitectura, Universidad Torcuato Di Tella).

Estuve dando bastantes clases a alumnos de esa materia así que decidí publicar algo del material acá.

A continuación, resolvemos paso a paso el ejercicio 1 (de recta y plano) de un examen final de matemática 1 de arquitectura. El final del 19 de diciembre de 2014.

Voy a seguír publicando algunos ejercicios. Anotate acá si te interesa enterarte de nuevo material cuando lo publique.

Ojalá sea de utilidad.

Por favor si te sirve dejame un comentario para saberlo.

Podés hacerlo de forma pública al final del posteo, o enviarme un mensaje privado por acá.

Empecemos.

Problema 1 – Recta y plano

Resolución del problema 1

A continuación la resolución en formato de video. Si preferís leerlo directamente saltá el video y seguí leyendo abajo.

Hagamos un esquema de una recta perpendicular a un plano:

Si la recta \(r\) es perpendicular al plano \({\pi _1}\), entonces su vector director es paralelo al vector normal de \({\pi _1}\):

\[\vec v = \left( {3, – 5,2} \right)\]

Ahora sólo nos falta hallar el punto de paso.

El punto de paso es intersección de \(L\) con \({\pi _2}\). Para hallarlo planteamos las ecuaciones paramétricas de la recta \(L\) y reemplazamos en la ecuación del plano \({\pi _2}\):

                     \(L:\;\left[ {\left( {1, – 1,1} \right)} \right] + \left( {1,0, – 2} \right)\)

      \(L:\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1, – 1,1} \right) + \left( {1,0, – 2} \right)\)

  \(L:\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda , – \lambda ,\lambda } \right) + \left( {1,0, – 2} \right)\)

         \(L:\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda  + 1, – \lambda ,\lambda  – 2} \right)\)

\[L:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \color{red}{\lambda + 1}}\\{y = \color{green}{- \lambda} }\\{z = \color{blue}{\lambda – 2}}\end{array}} \right.\]

\[2.\left( {\color{red}{\lambda + 1}} \right) – \left( { \color{green}{- \lambda} } \right) + 3\left( {\color{blue}{\lambda – 2}} \right) = 5\]

De acá despejamos y obtenemos:

\[\lambda = 1\]

Reemplazamos \(\lambda = 1\) en la ecuación de la recta \(L\):

\[L:\;\;\;\;\left( {x,y,z} \right) = 1.\left( {1, – 1,1} \right) + \left( {1,0, – 2} \right) = \left( {2, – 1, – 1} \right)\]

Entonces el punto de paso es \(\left( {2, – 1, – 1} \right)\).

La recta \(r\) tiene ecuacón:

\[r:\left[ {\left( {3, – 5,2} \right)} \right] + \left( {2, – 1, – 1} \right)\]

Problema 2 – Rectas en R3

Resolución del problema 2

Ítem a

Si las rectas \({L_1}\) y \({L_2}\) son paralelas… entonces sus vectores directores son uno múltiplo del otro:

\[\left( {1,2, – 1} \right).w = \left( { – 2,k,2} \right)\]

\[\left( {w,2w, – w} \right) = \left( { – 2,k,2} \right)\]

Igualando componente a componente obtenemos un sistema de ecuaciones:

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{w = – 2}\\{2w = k}\\{ – w = 2}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{w = – 2}\\{k = – 4}\end{array}} \right.\]

Entonces debe ser: \(k = – 4\).

Ítem b

Las dos rectas son paralelas.

Entonces no podemos usar la técnica habitual: que el producto vectorial de los vectores directores determina el vector normal del plano. Porque los dos vectores directores indican una misma dirección. (El producto vectorial de vectores paralelos da el vector nulo)

Sí podemos tomar uno de ellos. Por ejemplo: \(\color{red}{\left( {1,2, – 1} \right)}\), que es el vector director de \(\color{red}{{L_1}}\).

Pero nos falta OTRO vector que de la dirección del plano.

¿Cómo encontrarlo? El vector que va desde el punto \({P_2} = \left( { – 1,3,1} \right) \in {L_2}\) al punto \({P_1} = \left( {0,1,2} \right) \in {L_1}\) es un vector que está contenido en el plano.

\[{P_1}{P_2} = \left( { – 1,3,1} \right) – \left( {0,1,2} \right) = \color{#F80}{\left( { – 1,2, – 1} \right)}\]

Ya tenemos dos direcciones del plano… y conocemos un punto de paso; entonces escribimos la ecuación vectorial:

\[\pi :\left[ {\left( {1,2, – 1} \right),\left( { – 1,2, – 1} \right)} \right] + \left( {0,1,2} \right)\]

Pero nos piden la ecuación implícita. Entonces hacemos el producto vectorial de dos vectores directores:

\[\color{red}{\left( {1,2, – 1} \right)} \times \color{#F80}{\left( { – 1,2, – 1} \right)} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{ – 1}\\{ – 1}&2&{ – 1}\end{array}} \right| = \left( {0,2,4} \right)\]

La ecuación implícita queda:

\[\pi :2y + 4z = d\]

Cómo sabemos que \(\left( {0,1,2} \right) \in \pi \):

\[2.1 + 4.2 = d = 10\]

Entonces:

\[\pi :2y + 4z = 10\]

Comentario final

Espero que sea de utilidad para quienes estén cursando la materia.

Si te sirvió por favor dejame un comentario para saberlo 🙂

Si no te sirvió también dejame un comentario porque me interesa saber por qué.

Los finales suelen tener esta estructura: dos ejercicios de geometría en R3 (rectas y planos), dos de transformaciones lineales y alguno sobre volumen.

Más abajo tienen un formulario para descargar en PDF la explicación.

También pueden dejar comentarios al final.