Resolución completa de un parcial de Probabilidad y Estadística [UTN-FRBA-Parte A – 03-05-2017]

A continuación el enunciado y resolución completa del primer parcial de probabilidad y estadítica de UTN-FRBA tomado el día 03-05-2017.

Es un parcial redactado por la profesora Fanny Kaliman.

Parcial 1 Resuelto [03-05-2017]

Resolución del ejercicio 1

Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.

Si no te sale, te doy una ayuda:

• ¿Qué cantidad sería «la mitad de los chicos» y dónde iría en la tabla?
• ¿Qué cantidad sería «la tercera parte de las chicas» y dónde iría en la tabla?
• ¿Qué dice la definición de probabilidad condicional?

Acá está la resolución

Resolución del ejercicio 2

Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.

Si no te sale, te doy una ayuda:

• ¿Cómo se calcula una probabilidad de variable aleatoria continua cuando se cocnoce la función de densidad?
• ¿Cómo es la probabilidad de la intersección para sucesos independientes?
• ¿Cómo definir la variable GASTO cómo función de la longitud de los tornillos?
• ¿Cuales son las propiedades de esperanza y varianza?

Acá está la resolución

Resolución del ejercicio 3

Ítem a

\(X\): tiempo de vida de una lámpara especial.

Sabemos que la esperanza de una variable exponencial es \(E\left( X \right) = 1/\lambda \). Cómo la esperanza es 100, entonces \(\lambda  = 1/100\).

Entonces la distribución es:

\[X \sim Exponencial\left( {\lambda  = \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[P\left( {X > 30} \right) = 1 – P\left( {X \le 30} \right) = 1 – \left( {1 – {e^{ – \frac{{30}}{{100}}}}} \right) = {e^{ – \frac{{30}}{{100}}}} = 0,7408\]

Ítem b

\[P\left( {X > 80|X > 50} \right)\]

Por la propiedad de falta de memoria esta propiedad es igual a:

\[P\left( {X > 30} \right) = 0,7408\]

Probabilidad que ya habíamos calculado en el ítem a.

Ítem c

\[Y \sim Binomial\left( {n = 5,p = 0,7408} \right)\]

\[E\left( Y \right) = 5.0,7408 = 3,704\]

Resolución del ejercicio teórico 1

Ítem a

\(A\) y \(B\) son sucesos independientes si y solo si la probabilidad de \(A\) no se ve afectada por la ocurrencia de \(B\). Es decir \(P\left( A \right) = P\left( {A{\rm{|}}B} \right)\).

Ítem b

Por definición de probabilidad condicional sabemos que:

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]

Pero cómo \(A\) y \(B\) son independientes \(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right)\):

\[P\left( A \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]

\[ \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]

Resolución del ejercicio teórico 2

Ítem a

Una variable aleatoria es una función con dominio en el espacio muestral y condominio en los números reales. La función variable aleatoria a cada resultado elemental de un experimento aleatorio le asigna un número real.

La imagen de esa función variable aleatoria se conoce como el recorrido de la variable aleatoria y se simboliza \(R\left( X \right)\).

Si el recorrido de la variable aleatoria es un conjunto finito (por ejemplo \(\left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\)) o infinito numerable (por ejemplo \(\left\{ {1,2,3,4,5, \ldots } \right\}\)), se dice que es discreta.

Si el recorrido de la variable aleatoria es un conjunto infinito no numerable (por ejemplo, un intervalo real), se dice que es continua.

No es obvia la distinción entre los infinitos numerables y los infinitos no numerables y en general no se explica en detalle porque llevaría mucho tiempo. Así que es perfectamente normal que no se entienda la distinción. Se puede leer sobre conjuntos numerables y no numerables acá.

Ítem b

Una función \(f\left( x \right)\) para ser función de probabilidad de una variable aleatoria discreta debe cumplir dos condiciones. La suma de las probabilidades de cada uno de los valores de \(x\) debe ser 1, y esas probabilidades no pueden ser negativas. Simbolicamente:

Condicón 1: \(\mathop \sum \limits_{\forall x \in R\left( X \right)} f\left( x \right) = 1\)

Condición 2: \(f\left( x \right) \ge 0\;\forall x \in R\left( X \right)\)