A continuación el enunciado y resolución completa del primer parcial de probabilidad y estadítica de UTN-FRBA tomado el día 03-05-2017.
Es un parcial redactado por la profesora Fanny Kaliman.
Parcial 1 Resuelto [03-05-2017]
Ejercicio 1
En un club deportivo hay 30 chicos y 30 chicas. La mitad de los chicos y la tercera parte de las chicas juegan al tenis.
a) Completar la siguiente tabla:
b) Si se elige uno de los jóvenes al azar:
i) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico?
ii) ¿Cuál es la probabilidad de que no juegue al tenis?
iii) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica si juega al tenis?
Resolución del ejercicio 1
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- ¿Qué cantidad sería «la mitad de los chicos» y dónde iría en la tabla?
- ¿Qué cantidad sería «la tercera parte de las chicas» y dónde iría en la tabla?
- ¿Qué dice la definición de probabilidad condicional?
Ejercicio 2
La longitud de ciertos tornillos (en centímetros) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{4}\left( { – {x^2} + 4x – 3} \right)\;\;\;\;si\;\;\;1 \le x \le 3}\\{0\;\;\;\;\;\;en\;otro\;punto}\end{array}} \right.\]
a) Para hacer cierto trabajo se prefieren tornillos con longitud entre 1,7 cm y 2,4 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo tenga dicha longitud?
b) Si la longitud de cada tornillo es independiente de la longitud de otro tornillo. ¿Cuál es la probabilidad de que tres tornillos tengan la longitud que se prefiere?
c) Si para construir lo que se necesita con uno de estos tornillos hay que hacer un gasto de $10 por cm de longitud que tenga el tornillo más un gasto fijo de $4. ¿Cuál es el gasto medio esperado por un tornillo?
Resolución del ejercicio 2
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- ¿Cómo se calcula una probabilidad de variable aleatoria continua cuando se cocnoce la función de densidad?
- ¿Cómo es la probabilidad de la intersección para sucesos independientes?
- ¿Cómo definir la variable GASTO cómo función de la longitud de los tornillos?
- ¿Cuales son las propiedades de esperanza y varianza?
Ejercicio 3
El tiempo de vida de una lámpara especial sigue una distribución exponencial con media 100 hs.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara dure por lo menos 30 horas?
b) Si una lámpara ya lleva 50 horas de uso, ¿cuál es la probabilidad de que dure más de 80 horas?
c) Se seleccionan cinco lámparas, ¿Cuál es el número esperado de lámparas que duran por lo menos 30 hs (considerando las 5)?
Resolución del ejercicio 3
Ítem a
\(X\): tiempo de vida de una lámpara especial.
Sabemos que la esperanza de una variable exponencial es \(E\left( X \right) = 1/\lambda \). Cómo la esperanza es 100, entonces \(\lambda = 1/100\).
Entonces la distribución es:
\[X \sim Exponencial\left( {\lambda = \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[P\left( {X > 30} \right) = 1 – P\left( {X \le 30} \right) = 1 – \left( {1 – {e^{ – \frac{{30}}{{100}}}}} \right) = {e^{ – \frac{{30}}{{100}}}} = 0,7408\]
Ítem b
\[P\left( {X > 80|X > 50} \right)\]
Por la propiedad de falta de memoria esta propiedad es igual a:
\[P\left( {X > 30} \right) = 0,7408\]
Probabilidad que ya habíamos calculado en el ítem a.
Ítem c
\[Y \sim Binomial\left( {n = 5,p = 0,7408} \right)\]
\[E\left( Y \right) = 5.0,7408 = 3,704\]
Teórico 1
a) Defina sucesos independientes.
b) Demuestre que si A y B son sucesos independientes entonces \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]
Resolución del ejercicio teórico 1
Ítem a
\(A\) y \(B\) son sucesos independientes si y solo si la probabilidad de \(A\) no se ve afectada por la ocurrencia de \(B\). Es decir \(P\left( A \right) = P\left( {A{\rm{|}}B} \right)\).
Ítem b
Por definición de probabilidad condicional sabemos que:
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]
Pero cómo \(A\) y \(B\) son independientes \(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right)\):
\[P\left( A \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]
\[ \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]
Teórico 2
a) Defina variable aleatoria y clasifíquelas
b) Enuncie las propiedades que debe cumplir una función \(f\left( x \right)\) para ser función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Resolución del ejercicio teórico 2
Ítem a
Una variable aleatoria es una función con dominio en el espacio muestral y condominio en los números reales. La función variable aleatoria a cada resultado elemental de un experimento aleatorio le asigna un número real.
La imagen de esa función variable aleatoria se conoce como el recorrido de la variable aleatoria y se simboliza \(R\left( X \right)\).
Si el recorrido de la variable aleatoria es un conjunto finito (por ejemplo \(\left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\)) o infinito numerable (por ejemplo \(\left\{ {1,2,3,4,5, \ldots } \right\}\)), se dice que es discreta.
Si el recorrido de la variable aleatoria es un conjunto infinito no numerable (por ejemplo, un intervalo real), se dice que es continua.
No es obvia la distinción entre los infinitos numerables y los infinitos no numerables y en general no se explica en detalle porque llevaría mucho tiempo. Así que es perfectamente normal que no se entienda la distinción. Se puede leer sobre conjuntos numerables y no numerables acá.
Ítem b
Una función \(f\left( x \right)\) para ser función de probabilidad de una variable aleatoria discreta debe cumplir dos condiciones. La suma de las probabilidades de cada uno de los valores de \(x\) debe ser 1, y esas probabilidades no pueden ser negativas. Simbolicamente:
Condicón 1: \(\mathop \sum \limits_{\forall x \in R\left( X \right)} f\left( x \right) = 1\)
Condición 2: \(f\left( x \right) \ge 0\;\forall x \in R\left( X \right)\)
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