Esta entrada contine el enunciado y resolución completa del primer parcial de probabilidad y estadítica de UTN-FRBA tomado el día 28-09-2016. Es un parcial redactado por la profesora Fanny Kaliman.
Parcial 1 Resuelto [28-09-2016] versión #1
Ejercicio 1
El 15% de la población padece de hipertensión, pero el 75% de los adultos cree no tener ese problema. De los que tienen hipertensión, el 6% cree que no tiene esta enfermedad. Si un paciente cree que no tiene hipertensión, ¿cuál es la probabilidad de que en realidad si tenga esa enfermedad?
Resolución del ejercicio 1
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- Pensá en diagramar la situación. ¿Qué diagramas? Pueden ser: diagramas de Venn, o de árbol, o tabla de doble entrada…
- También leé bien el enunciado. ¿Qué probabilidad representa cada uno de los tres datos que da el enunciado?
Ejercicio 2
La vida, en horas, de cierto tipo de lámparas varía aleatoriamente según la siguiente función de densidad:
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{k}{{{x^2}}}\;\;si\;\;\;x \ge 100\;\;hs}\\{0\;\;\;\;si\;x < 100\;\;hs}\end{array}} \right.\)
a) Encuentre el valor de k para la función de densidad dada.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara de este tipo tenga una vida útil mayor a 200 horas?
c) Cierto artefacto tiene tres de estas lámparas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres lámparas duren más de 200 horas?
Resolución del ejercicio 2
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- ¿Qué condición debe cumplir toda función de densidad de probaiblidad?
- ¿Cómo se conecta esta condicion con el valor de k?
Ejercicio 3
El número de imperfecciones de un tipo de alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con intensidad 0,2 imperfecciones por cm.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna imperfección en 5 cm de dicho cable?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en 10 cm de cable, haya a lo sumo una imperfección?
c) Si un alambre de 10 cm de longitud tiene a lo sumo una imperfección se gana $3 en su vente, pero si tiene dos o más imperfecciones se gana $1. ¿Cuál es la ganancia media por un cable de 10 cm?
Resolución del ejercicio 3
Ítem a
La media de sucesos Poisson por unidad de continuo es:
\[\lambda = \frac{{0,2\;imperfecciones}}{{1\;cm}}\]
En el ítem a nos interesa considerar una extensión de continuo de \(t = 5\;cm\), entonces:
\[\mu = \lambda .t = 0,2.5 = 1\]
La variable \(X\) cantidad de imperfecciones en 5 cm de cable, tiene la distribución:
\[X \sim Poisson\left( {\mu = 1} \right)\]
La pregunta “cuál es la probabilidad de que no haya ninguna imperfección en 5 cm de dicho cable” puede expresarse en términos de \(X\):
\[P\left( {X = 0} \right) = 0,3679\]
Item b
Nos interesa considerar una extensión de continuo de \(t = 10\;cm\), entonces:
\[\mu = \lambda .t = 0,2.10 = 2\]
Entonces podemos definir la variable \(Y\) cantidad de imperfecciones en 5 cm de cable, cómo:
\[Y \sim Poisson\left( {\mu = 2} \right)\]
La pregunta “cuál es la probabilidad de que, en 10 cm de cable, haya a lo sumo una imperfección” puede expresarse en términos de \(Y\). Recordemos que “a lo sumo” es equivalente a decir “cómo máximo”:
\[P\left( {Y \le 1} \right) = F\left( 1 \right) = 0,406\]
Cómo siemrpe esa probabilidad Poisson se puede calcular con fórmula, tabla, o software. Por ejemplo, usando GeoGebra:
Ítem c
Ahora se define una nueva variable que es la variable \(G\): ganancia obtenida con la venta de un cable de 10 cm.
Queremos calcular la esperanza matemática de esa variable: \(E\left( G \right)\). Para eso debemos conocer la función de probabilidad puntual de \(G\).
¿Qué valores toma la variable ganancia? Se puede ganar $1 por alambre venido, o $3 por alambre vendido.
La expresión del enunciado “si un alambre de 10 cm de longitud tiene a lo sumo una imperfección se gana $3 en su venta” indica que la probabilidad de que se ganen \(\$ 3\) está asociada a la variable \(Y\):
\[P\left( {G = 3} \right) = P\left( {Y \le 1} \right) = 0,406\]
La expresión “si tiene dos o más imperfecciones se gana $1” indica que:
\[P\left( {G = 1} \right) = P\left( {Y \ge 2} \right) = 1 – P\left( {Y \le 1} \right) = 0,594\]
Entonces ya conocemos la distribución de probabilidades de la variable \(G\). Podemos calcular la esperanza:
\[E\left( G \right) = 1.0,594 + 3.0,406 = 1,812\]
Ejercicio 4 (teórico)
Sean \(P\left( A \right) = 0,3\) y \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,8\):
a) Defina sucesos mutuamente excluyentes y encuentre \(P\left( B \right)\) en el caso de que \(A\) y \(B\) lo sean.
b) Defina sucesos independientes y encuentre \(P\left( B \right)\) en el caso de que \(A\;\)y \(B\) lo sean.
Resolución del ejercicio 4
Ítem a
Dos sucesos \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes si no puede ocurrir \(A \cap B\). Otra forma de expresarlo: \(A \cap B = \emptyset \). O también: \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\).
Uno de los axiomas de la teoría de la probabilidad establece que si dos sucesos \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, entonces:
\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\]
Cómo conocemos \(P\left( A \right) = 0,3\) y \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,8\) entonces:
\[P\left( B \right) = 0,5\]
Ítem b
Dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes si la probabilidad de que ocurra uno de ellos no se ve afectada por la ocurrencia del otro. Se puede escribir:
\[A\;{\rm{y}}\;B\;{\rm{independientes}} \Leftrightarrow P\left( {A{\rm{|}}B} \right) = P\left( A \right) \wedge P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right)\]
También se puede demostrar que:
\[A\;{\rm{y}}\;B\;{\rm{independientes}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]
Entonces si \(A\) y \(B\) fueran independientes:
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,3.P\left( B \right)\]
Pero por la regla de la suma:
\[ \Rightarrow 0,8 = 0,3 + P\left( B \right) – 0,3P\left( B \right)\]
\[ \Rightarrow 0,5 = 0,7P\left( B \right)\]
\[ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{0,5}}{{0,7}} = \frac{5}{7}\]
Ejercicio 5 (teórico)
a) Defina distribución exponencial, indicando su función de densidad, su recorrido y una propiedad que la caracterice.
b) Encuentre su función de distribución.
Resolución del ejercicio 5
Ítem a
Una variable aleatoria con distribución exponencial es cualquier variable aleatoria continua que tenga una función de densidad:
\[{f_{exp}}\left( x \right) = \lambda {e^{ – \lambda x}}\]
Con \(x \ge 0\).
El recorrido de la variable es \(R\left( X \right) = \left[ {0,\infty } \right)\)
Una propiedad característica de la distribución exponencial es la propiedad de falta de memoria.
Ítem b
Recordemos que si \(f\left( x \right)\) es la función de densidad de una variable aleatoria \(X\), su función de distribución se define:
\[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_{–\infty }^x f\left( t \right)dt\]
Aplicado a nuestro caso
\[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_0^x \lambda {e^{ – \lambda t}}dt\]
\[F\left( x \right) = \lambda \left[ { – \frac{1}{\lambda }{e^{ – \lambda t}}} \right]_0^x\;\]
\[F\left( x \right) = \lambda \left[ {\left( { – \frac{1}{\lambda }{e^{ – \lambda x}}} \right) – \left( { – \frac{1}{\lambda }{e^{ – \lambda .0}}} \right)} \right]\]
\[F\left( x \right) = \lambda \left[ {\left( { – \frac{1}{\lambda }{e^{ – \lambda x}}} \right) – \left( { – \frac{1}{\lambda }} \right)} \right]\]
\[F\left( x \right) = 1 – {e^{ – \lambda x}}\]
Para los \(x \ge 0\).
Cómo la función de distribución está definida para todo número real:
\[F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0\;\;\;\;si\;\;\;x < 0}\\{1 – {e^{ – \lambda x}}\;\;\;\;si\;x \ge 0}\end{array}} \right.\]
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