Esta entrada contine el enunciado y resolución completa del primer parcial de probabilidad y estadítica de UTN-FRBA tomado el día 30-09-2015. Es un parcial redactado por la profesora Fanny Kaliman.
Parcial 1 Resuelto [30-09-2015]
Ejercicio 1
Dos expertos, \({E_1}\) y \({E_2}\), realizan peritajes para una cierta compañía de seguros. La probabilidad de que un peritaje haya sido realizado por \({E_1}\) es \(0,55\) y por \({E_2}\) es \(0,45\). Si un peritaje ha sido realizado por \({E_1}\), la probabilidad de que dé lugar al pago de una indemnización es de \(0,98\) y su ha sido realizado por \({E_1}\) la probabilidad de que dé lugar al pago de una indemnización es de \(0,90\).
a) Encontrar la probabilidad de que un siniestro dé lugar al pago de indemnización.
b) Un siniestro ha supuesto a la compañía el pago de una indemnización. Hallar la probabilidad de que el peritaje haya sido realizado por \({E_2}\).
Resolución del ejercicio 1
Antes de intentar leer la resolución… pensalo bien.
Si no sale tené en cuenta esta ayuda:
- ¿Podés hacer un diagrama de árbol para esquematizar la situación?
- ¿Qué dice la regla de la multiplicación?
Ejercicio 2
Las marcas obtenidas por un lanzador (distancias medidas en decámetros) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k\;\frac{{{x^2}}}{9}\;\;\;\;\;\;\;si\;0 \le x \le 3}\\{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;en\;el\;resto}\end{array}} \right.\]
a) Encontrar el valor de k.
b) Encontrar la probabilidad de que la distancia conseguida por el lanzador sea mayor a 2 decámetros.
c) Encontrar la probabilidad de que la marca sea superior a 2,5 decámetros si se sabe que es superior a 2 decámetros.
d) Encontrar la distancia media esperada.
Resolución del ejercicio 2
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- ¿Qué propiedades debe cumplir toda función de densidad? ¿Cómo se vincula esto con k?
- ¿Qué dice la definición de probabilidad condicional?
- ¿Cómo se calcula la esperanza de una variable continúa?
Ejercicio 3
El tiempo, en horas, que mensualmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable con distribución gamma de media 12 horas y varianza 48 horas2.
a) Encuentre la probabilidad de que en un mes el tiempo de mantenimiento sea menor a 24 horas.
b) Si se eligen 5 meses en forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que, en por lo menos 4 de esos meses, el tiempo de mantenimiento sea menor a 24 horas?
Resolución del ejercicio 3
Ítem a
La variable es \(X\): tiempo en horas que mensualmente requiere una máquina para mantenimiento.
Sabemos que su distribución es Gama pero desconocemos sus parámetros:
\[X \sim Gama\left( {\alpha = ?\;,\lambda = ?} \right)\]
Cómo conocemos la esperanza y varianza es posible despejar de ahí los parámetros:
\[E\left( X \right) = \frac{\alpha }{\lambda } = 12\]
\[V\left( X \right) = \frac{\alpha }{{{\lambda ^2}}} = 48\]
\[\lambda = \frac{1}{4}\;\;\;\alpha = 3\]
\[P\left( {X\left\langle {24\;} \right|\;\alpha = 3\;,\;\lambda = \frac{1}{4}} \right) = {F_\gamma }\left( {24|\;\alpha = 3\;,\;\lambda = \frac{1}{4}} \right)\]
Normalmente uno podría usar algún software para calcular esta probabilidad.
Pero en un parcial no podemos usar computadora o smartphone. Así que usamos la relación con la distribución Poisson:
\[{F_\gamma }\left( {24|\;\alpha = 3\;,\;\lambda = \frac{1}{4}} \right) = {G_{Po}}\left( {3\;|\;\mu = 24.\frac{1}{4} = 6} \right) = 1 – {F_{Po}}\left( {2\;|\;\mu = 6} \right)\]
\[ = 1 – 0,0619 = 0,9381\]
Ítem b
Ahora se analiza una serie de cinco meses independientes entre sí. Y cada mes analizamos si el tiempo de mantenimiento es menos a 24 horas (éxito) o mayor a 24 horas (fracaso). La probabilidad elemental de éxito ya la calculamos y es \(p = 0,9381\).
La nueva variable es:
\(Y\): cantidad de meses en los que el tiempo de mantenimiento es menor a 24 horas (de un total de cinco meses analizados)
\[Y \sim Bi\left( {n = 5;p = 0,9381} \right)\]
\[P\left( {Y \ge 4} \right) = P\left( {Y = 4} \right) + P\left( {Y = 5} \right)\]
\[P\left( {Y \ge 4} \right) = 0,2399 + 0,7261 = 0,9661\]
Ejercicio 4 (teórico)
a) Defina el concepto de sucesos independientes. Ejemplifique.
b) Demuestre que si dos sucesos A y B son independientes, entonces P(A∩B)=P(A).P(B)
Resolución del ejercicio 4
Ítem a
Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de ocurrencia A no se ve afectada por la ocurrencia de B. Simbolicamente: \(P\left( A \right) = P\left( {A{\rm{|}}B} \right)\), o también \(P\left( B \right) = P\left( {B{\rm{|}}A} \right)\)
Ejemplo: supongamos el suceso de arrojar dos veces un dado y ver si sale número par o impar en la cara superior. Y sean \(A\) el suceso de que sale par en la primera tirada, y \(B\) el suceso de que sale par en la segudna tirada. Estos sucesos son independientes porque la probabilidad de \(B\) no se ve afectada por la ocurrencia de \(A\).
Ítem b
La definición de probabilidad condicional dice que:
\[P\left( {A{\rm{|}}B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]
Pero si \(A\) y \(B\) son independientes \(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right)\) entonces:
\[P\left( A \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]
Multiplicando por \(P\left( B \right)\) a ambos miembros llegamos a que:
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]
Ejercicio 5 (teórico)
Dé tres características de la distribución normal.
Resolución del ejercicio 5
La distribución normal de probabilidades:
- Es asintótica al eje x
- Es una distribución simétrica
- Tiene su punto máximo para \(x = \mu \)
- Tiene sus puntos de inflexión en \(x = \mu + \sigma \) y \(x = \mu – \sigma \)
muy bueno, porfavor suban mas parciales resueltos!