Este artículo es el primer parcial de Probabilidad y Estadística resuelto completamente. Corresponde a UTN-FRBA y fué tomado el día 28-09-2016. Es un parcial escrito por la profesora Fanny Kaliman.
Es muy recomendable intentar resolverlo antes de leer la resolución.
Aquí una imagen con el enunciado:
Parcial 1 Resuelto [28-09-2016] versión #2
Ejercicio 1 – Probabilidad básica
Un dado “A” está cargado de tal forma que, el 40% de las veces sale “1”. Otro dado “B” está cargado también y sale “1” un 70% de las veces.
a) Si se selecciona al azar un dado cualquiera y se lo tira, ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1?
b) Si se selecciona al azar un dado y al tirarlo salió “1”, ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea el dado A?
Resolución del ejercicio 1
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- ¿Cuales son los resultados posibles?
- ¿Podés esquematizar la información en un diagrama de árbol?
- ¿Que probabilidades ya conocés? Escribilas con notación correcta.
Ejercicio 2 – Función de probabilidad puntual, esperanza, y distribución binomial
Definamos la variable:
Y: longitud de un mensaje (medido en cantidad de caracteres) que llega a un centro
Ítem a
| Y | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f(y) | 0,15 | 0,2 | 0,25 |
Una de las propiedades de las funciones de probabilidad es que la suma de las probabilidades debe ser 1. Entonces:
\[P\left( {Y = 8} \right) = 1 – \left( {0,15 + 0,2 + 0,25} \right) = 0,4\]
Ítem b
Queremos hallar la media del número de caracteres. Es decir la esperanza matemática de la variable \(Y\). Para eso calculamos los productos de cada valor de la variable \(Y\) con su probabilidad, y después sumamos todos esos productos:
| \(Y\) | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(f\left( y \right)\) | 0,15 | 0,2 | 0,4 | 0,25 |
| \(y.f\left( y \right)\) | 0,9 | 1,4 | 3,2 | 2,25 |
\[\bar y = \sum {y_i}.f\left( {{y_i}} \right) = 7,75\]
Ítem c
Probabilidad de que un mensaje tenga «a lo sumo» siete caracteres. Es equivalente a decir que tenga siete caracteres o menos. También es equvalente a decir que tenga cómo máximo siete caracteres.
\[P\left( {Y \le 7} \right) = P\left( {Y = 6} \right) + P\left( {Y = 7} \right) = 0,15 + 0,2 = 0,35\]
Ítem d
Lo que algunos no se dan cuenta en este punto… es que hay que definir una nueva variable \(X\) y no confundirla con la variable anterior \(Y\). Esta nueva variable contabiliza cuantos mensajes (de cinco recibidos) cumplen con que tienen a lo sumo siete caracteres.
Por ejemplo, en el siguiente esquema visualizamos cinco mensajes. Cada uno de estos mensajes cuenta con cierta cantidad de caracteres (Y). Se chequea en cada uno si cumple o no con tener a lo sumo siete caracteres:
Por ejemplo, después de revisar cada mensaje uno podría observar que:
Las tildes y las cruces muestran los éxitos (hay cómo máximo siete caracteres) y los fracasos (hay más de siete caracteres). La variable \(X\) en este caso toma el valor 2.
La probabilidad de que cada uno de estos cinco mensajes tenga a lo sumo siete caracteres es 0,35. La calculamos en el punto anterior. Esa probabilidad es constante (no cambia de mensaje en mensaje). Entonces se cumplen las condiciones para afirmar que \(X\) (cantidad de mensajes con 7 o menos caracteres de un total de 5 mensajes analizados) tiene distribución binomial.
\(X:\) cantidad de mensajes que tienen a lo sumo 7 caracteres, de un total de 5 mensajes enviados.
\[X \sim Binomial\left( {n = 5,p = 0,35} \right)\]
Y queremos averiguar la probabilidad de que \(X\) sea igual a 5 (es decir TODOS los mensajes de los 5 recibidos:
\[P\left( {X = 5} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\5\end{array}} \right){\left( {0,35} \right)^5}{\left( {0,65} \right)^0} = 0,0052\]
Ejercicio 3 – Distribución exponencial
El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial con media \(22\) minutos.
a) Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a \(10\) minutos.
b) ¿Cuál es el tiempo de revisión de un motor superado por el \(10\% \) de los tiempos de revisión?
c) El costo de revisión es de \(200\) unidades monetarias fijas al que se le suma \(10\) unidades monetarias por el tiempo que dure la revisión. Encontrar la media y la varianza del costo.
Resolución del ejercicio 3
Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.
Si no te sale, te doy una ayuda:
- ¿Cuál es la función de densidad de una variable con distribución exponencial?
- ¿Cuál es la función de distribución de una variable exponencial?
- ¿Cómo sería un gráfico que represente «al tiempo de revisión…. sólo superado un \(10\% \) de las veces?
- ¿Cómo expresar al costo en función del tiempo de reparación?
- ¿Cuales son las propiedades de esperanza y varianza que se podrían aplicar para simplificar el cálculo de media y varianza del costo?
Teórico 1 – Varianza
Definición: La varianza de una variable aleatoria \(X\) es \(E\left[ {{{\left( {X – E\left( X \right)} \right)}^2}} \right]\).
¿Qué mide? La varianza es una medida de la dispersión de los valores de la variable respecto de la esperanza. Es una de las formas de medir la variabilidad de \(X\) respecto de su media.
Partimos de la definición:
\[Var\left( X \right) = E\left[ {{{\left( {X – E\left( X \right)} \right)}^2}} \right]\]
Desarrollamos el cuadrado de \(X – E\left( X \right)\):
\[Var\left( X \right) = E\left[ {{X^2} – 2XE\left( X \right) – {E^2}\left( X \right)} \right]\]
Aplicamos propiedades de esperanza:
\[Var\left( X \right) = E\left( {{X^2}} \right) – 2E\left( X \right)E\left( X \right) – {E^2}\left( X \right)\]
Resolviendo:
\[Var\left( X \right) = E\left( {{X^2}} \right) – {E^2}\left( X \right)\]
Teórico 2 – Experimentos Bernoulli, independencia y estabilidad
Un experimento aleatorio es Bernoulli si sus resultados son exactamente dos y son mutuamente excluyentes. Esos resultados se suelen caracterizar cómo «éxito» y «fracaso», o también cómo «1» y «0».
Ítem i
El experimento que consiste en «encuestar a un ciudadano preguntando si votó o no votó en la última elección» es un experimento Bernoulli. Se obtiene uno de dos resultados elementales: votó o no votó. Si se encuestara a varios ciudadanos, la probabilidad de que uno haya votado no se ve afectada por la probabilidad de que otros hayan votado. La probabilidad se mantiene constante de ciudadano en ciudadano. Por eso podríamos decir que en ese escenario se cumplirían las condiciones de estabilidad de independencia.
Ítem ii
El experimento consiste en «observar el resultado que se obtiene al girar una ruleta». Podríamos afirmar que se obtienen 37 resultados posibles (los números desde 0 hasta 36). También se podría observar si salió un número par o impar… o si salió un número negro o rojo… Si el apostador gana o pierde, etc. Tenemos cierta libertad para interpretar que significa «observar el resultado». Pero si interpretamos que se observa el número que sale en la ruleta… entonces podemos decir que ese experimento no es Bernoulli. Hay 37 resultados elementales, ¡no dos!
Ítem iii
El experimento consiste en extraer una a una sin reemplazo 4 llantas de un grupo de 15 llantas en las que hay 3 con defectos. Se observa en cada caso si la llanta tiene o no defecto.
El experimento de observar si tiene o no defecto cada llanta extraída es Bernoulli: sus resultados son dicotómicos. Tiene defecto o no lo tiene. ¿Se cumple la estabilidad y la independencia? No. Porque la probabilidad de que la primera llanta sea defectuosa es 3/15, pero la probabilidad de que la segunda llanta sea defectuosa (si la primera lo fue) es de 2/14. La probabilidad elemental de éxito no se mantiene constante.
Hay una sutileza que considerar. Si el experimento se define cómo: «extraer 4 llantas de un grupo de 15 en las que hay 3 con defectos y contabilizar cuantas de estas 4 llantas extraídas son defectuosas». Entonces ya no podemos decir que ESE experimento sea Bernoulli. Porque no hay en principio dos resultados. Hay cinco resultados posibles: {0,1,2,3,4}.
Ojalá haya sido útil.
Si hay alguna pregunta o comentario… abajo tienen la posibilidad de dejarlo.
Hola, muy buena explicacion. Lo unico no puedo ver los resultados del ejersicio 3 de distribucion exponencial. Creo que se callo el link
¿está bien echo el item 2-b?
Hola Román! Sí está bien hecho el ítem 2b. La esperanza es 7,75 (suma de los productos que aparecen en la tabla)
Muy buena la página. Se cayó el link de la resolución del ejercicio 3. Saludos
Gracias Juan! Ahí lo corregí. Saludos!