Prueba de Hipótesis Estadística: una explicación desde cero

Introducción: ¿qué es una prueba de hipótesis estadística?

Supongamos que un amigo nuestro afirma que en cada partido de fútbol que juega, mete tres o cuatro goles. Impresionados con su excelente performance, vamos a verlo jugar cinco partidos seguidos. Pero ocurre que en esos cinco partidos no mete ningún gol. ¿No sospecharíamos que tal vez nos mintió? ¿No es muy incompatible «lo observado» con su afirmación inicial de que mete tres o cuatro goles por partido? Este mini-ejemplo muestra la lógica que hay detrás de una prueba de hipótesis estadística.

Una prueba de hipótesis es un procedimiento, con el que se busca tomar una decisión sobre el valor de verdad de una hipótesis estadística. Al realizar una prueba de hipótesis decidimos si rechazar o no rechazar esa hipótesis estadística. Basamos la decisión en la evidencia muestral.

Un esquema muy simplificado que resume el proceso sería el siguiente:

Por eso muchas veces se compara un proceso de prueba de hipótesis con un juicio: hay que recoger evidencias para analizar si la hipótesis de base (la inocencia del acusado en el caso del juicio) se sostiene o se rechaza.

Ejemplo intuitivo (sin detalles «técnicos»)

Entender muy bien que es una prueba de hipótesis implica comprender muchos conceptos (variable, parámetro, hipótesis estadística, estadístico de prueba, etc). Y también las relaciones entre ellos. Pero la idea general de que es una prueba de hipótesis no es difícil de entender. De hecho, es muy intuitiva. Vamos a ver un ejemplo que en forma natural expresa el razonamiento y procedimiento detrás de una prueba de hipótesis.

Situación

Un fabricante de galletitas produce paquetes en los cuales el peso nominal impreso es de \(500\) gramos. Pero el contenido real en gramos es una variable aleatoria. No tienen exactamente \(500\) gramos todos los paquetes. El fabricante, basándose en información histórica, afirma que la media de esa variable \(X\) es \(\mu = 500\) gramos con un desvío estándar de \(5\) gramos. Se desconfía de la afirmación del fabricante acerca de que \(\mu = 500\) gramos. Se quiere analizar si en realidad el peso promedio de los paquetes es inferior a \(500\) gramos.

La variable

La variable que nos interesa observar es \(X\): peso en gramos de un paquete de galletitas de la fábrica.

Las hipótesis en juego

Las dos afirmaciones que se contraponen en esta situación son:

• Afirmación del fabricante, que llamaremos hipótesis nula: la media de \(X\) es 500: \(\mu = 500\)
• Afirmación alternativa: Hipótesis alternativa: la media de \(X\) es menor que 500: \(\mu < 500\)

No podemos conocer el verdadero valor del parámetro, pero podemos estimarlo

Cómo se trata de una discusión acerca del valor de un parámetro, no es fácil decidir cuál afirmación es correcta. Habría que medir todos los paquetes de la producción para conocer la verdadera esperanza de \(X\). En general esto es inviable. Para no tener que medir el peso en todos los paquetes de la producción se puede tomar una muestra aleatoria de \(n\) paquetes, y analizar si los valores observados de \(X\) son o no coherentes con la afirmación del fabricante.

Para lo que sigue a continuación es requisito saber sobre la distribución de la variable media muestral.

Supongamos que se toma una muestra aleatoria de 100 paquetes, y se mide el peso (utilizando una balanza muy precisa) en cada uno de los \(100\) paquetes. Obtenemos entonces una muestra aleatoria de la variable \(X\):

\[{X_1},{X_2},{X_3} \ldots ,{X_{100}}\]

Sabemos que la medía muestral \(\bar X\) es un buen estimador de la media poblacional \(\mu \). Entonces vamos a calcular la media muestral del peso de los 100 paquetes, para contrastarla con la hipótesis nula.

• Si obtenemos un valor de \(\bar X\) «muy inferior a 500», es decir una diferencia \(\bar x – \mu \) «muy grande», rechazaremos la hipótesis nula.
• Si obtenemos un valor de \(\bar X\) «muy cercano a 500», es decir una diferencia \(\bar x – \mu \) «pequeña», diremos que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.

Veamos que conclusión sacaríamos en los siguientes casos.

Caso A de evidencia muestral: se obtiene una media muestral muy contraría a la afirmación inicial

Si se obtiene que el promedio de los pesos es de \(\bar x = 421,3\) gramos, podríamos concluir que la evidencia muestral no es compatible con la afirmación del fabricante. Se obtuvo un valor muy por debajo de 500 gramos. Podríamos rechazar la afirmación del fabricante. No puede ser cierto que \(E\left( X \right) = 500\), pero que se observe \(\bar x = 421,3\). Cómo \(\bar x = 421,3\) de hecho se observó, entonces rechazamos la hipótesis nula.

Caso B de evidencia muestral: se obtiene una media muestral «cercana» a la afirmación inicial

Si se obtiene que el promedio de los pesos es de \(\bar x = 499,8\) gramos, podríamos pensar que el valor de \(\bar X\) obtenido es muy cercano al valor de \(\mu \) propuesto por la hipótesis inicial… y entonces concluir que no hay evidencia contraria a esa hipótesis.

Caso C de evidencia muestral: se obtiene una media muestral que no es concluyente «a simple vista» respecto de la afirmación inicial

Si se obtiene que el promedio de los pesos de 100 paquetes es de \(\bar x = 497,3\) gramos… ¿Qué concluimos? ¿Es coherente con una media poblacional de 500 o no? Este caso resulta más dilemático y no permite decidir tan fácilmente. Se presenta el problema de decidir que es «cerca» y que es «lejos» de 500. Más adelante vamos a ver cómo se decide un punto de corte o punto crítico que permite definir una zona «cercana» (zona de no rechazo) y una zona «lejana» (zona de rechazo).

Definición intuitiva

Entonces una prueba de hipótesis es un proceso en el que, partiendo de dos hipótesis estadísticas contrapuestas (una nula y una alternativa), tomamos información muestral para decidir si se rechaza o no la hipótesis inicial en favor de la hipótesis alternativa.

Problema del abordaje intuitivo que acabamos de hacer

El problema que tiene este abordaje es que no queda bien definido que sería que \(\bar X\) esté «cerca» o «lejos» de 500 gramos. Para el caso A y B elegimos valores que «a ojo» parecen muy por debajo (421,3) o muy cercanos (499,8) a 500. Pero tenemos que poder tener un criterio objetivo con el que tomar la decisión sobre si la evidencia muestral es contraría o no a la afirmación inicial. A continuación, nos vamos a meter con esta complicación técnica. Pero la idea básica de que es una prueba de hipótesis, es la que comentamos en este ejemplo.

Para resolver el problema técnico, va a ser necesario tener bien claros los siguientes conceptos.

Definiciones de conceptos fundamentales

Para entender bien que es una prueba de hipótesis hay que tener bien claros (entre otros) los conceptos de: variable, parámetro, estimador de un parámetro, hipótesis estadística y estadístico de prueba.

¿Qué es una variable?

Una variable es una característica de interés, que tienen los individuos de una población.

• Ejemplo 1: el peso de un paquete de galletitas de cierta marca
• Ejemplo 2: la cantidad de alumnos en un mes determinado de una escuela que da clases de baile online
• Ejemplo 3: la localidad en la que está ubicada un comercio de una cierta cadena

¿Qué es un parámetro?

En estadística, un parámetro es una constante asociada a la distribución de probabilidades de una variable aleatoria.

• Ejemplo 1: Si una variable tiene distribución binomial, sus parámetros son \(n\) y \(p\).
• Ejemplo 2: Si una variable tiene distribución normal, sus parámetros son \(\mu \) y \(\sigma \).
• Ejemplo 3: Si una variable tiene distribución Bernoulli, su único parámetro es la probabilidad de éxito \(p\).

¿Qué es un estimador de un parámetro?

El estimador de un parámetro es un estadístico (estadístico: variable aleatoria función de las observaciones muestrales) que toma «valores cercanos» al verdadero valore del parámetro.

Fundamentalmente nos interesan los siguientes estimadores:

• La media muestral \(\bar x\) es un estimador de la media poblacional \(\mu \).
• El desvío estándar muestral \(s\) es un estimador del desvío estándar poblacional \(\sigma \)
• La proporción muestral \(\hat p\), es un estimador de la proporción poblacional \(p\).

¿Qué es un estadístico de prueba?

Esta es la definición más difícil de esta serie. Por eso vamos a dar muchos ejemplos.

Un estadístico de prueba es:

• Una variable aleatoria
• De distribución conocida
• Que vincula a un parámetro de interés, con un estimador de ese parámetro.

Vamos a ver algunos ejemplos de estadísticos de prueba que nos van a interesar más adelante.

Ejemplo 1

Si \(X \sim N\left( {\mu ,\sigma } \right)\), y \({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}\), es una muestra aleatoria de \(X\), y conocemos \(\sigma \) entonces:

\[\frac{{\bar X – \mu }}{{\frac{\sigma }{{\sqrt n }}}} \sim N\left( {0,1} \right)\]

Es un estadístico de prueba. Porque es una variable aleatoria, con distribución conocida (normal estándar), y que relaciona al parámetro \(\mu \) con su estimador \(\bar x\).

Observación: no demostramos recién por qué es esa la distribución de \(\frac{{\bar X – \mu }}{{\frac{\sigma }{{\sqrt n }}}}\). No nos interesa hacerlo acá para no distraer la atención. Pero la fundamentación tiene que ver con:

1. Si \(X\) es normal, una combinaicón lineal de \({X_i}\) va a ser normal también.
2. La esperanza de \(\bar X\) es \(\mu \).
3. La varianza de \(\bar X\) es \({\sigma ^2}/n\)
4. La estandarización de variables aleatorias normales.

Ejemplo 2

Si \(X \sim N\left( {\mu ,\sigma } \right)\), y \({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}\), es una muestra aleatoria de \(X\), y no conocemos \(\sigma \) pero lo estimamos con \(S\) entonces:

\[\frac{{\bar X – \mu }}{{\frac{S}{{\sqrt n }}}} \sim {t_{n – 1}}\]

Es un estadístico de prueba. Porque es una variable aleatoria, con distribución conocida (\(t\) de student \(n – 1\) grados de libertad), y que relaciona al parámetro \(\mu \) con su estimador \(\bar X\).

Observación: no demostramos por qué es esa la distribución. Hay que aceptarlo así :).

Ejemplo 3

Si \(X\) tiene una distribución desconocida, y \({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}\), es una muestra aleatoria de \(X\) (con \(n > 30\)), y no conocemos \(\sigma \) pero lo estimamos con \(S\) entonces:

\[\frac{{\bar X – \mu }}{{\frac{S}{{\sqrt n }}}}\; \approx N\left( {0,1} \right)\]

Es un estadístico de prueba. Porque es una variable aleatoria, con distribución conocida (en realidad aproximadamente conocida, porque se aproxima a la distribución normal estándar), y que relaciona al parámetro \(\mu \) con su estimador \(\bar X\).

Observación: no demostramos por qué es esa la distribución. Tiene que ver con el teorema central del límite.

Ejemplo 4

Si \(X \sim Bernoulli\left( p \right)\) y \({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}\) es una muestra aleatoria de \(X\), con \(n > 30\) entonces:

\[\frac{{\hat p – p}}{{\sqrt {\frac{{p\left( {1 – p} \right)}}{n}} }} \approx N\left( {0,1} \right)\]

Es un estadístico de prueba. Porque es una variable aleatoria, con distribución conocida (en realidad aproximadamente conocida, porque se aproxima a la distribución normal estándar), y que relaciona al parámetro \(p\) con su estimador \(\hat p\).

Observación: no demostramos por qué es esa la distribución. Tiene que ver con el teorema central del límite.

Ejemplo 5

Si \(X \sim N\left( {\mu ,\sigma } \right)\) y \({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}\), es una muestra aleatoria de \(X\), entonces:

\[\frac{{{S^2}\left( {n – 1} \right)}}{{{\sigma ^2}}} \sim \chi _{n – 1}^2\]

Es un estadístico de prueba. Porque es una variable aleatoria, con distribución conocida, y que relaciona al parámetro \({\sigma ^2}\) con su estimador \({S^2}\).

Observación: no demostramos por qué es esa la distribución. Hay que aceptarlo así :).

Una tabla que resume las condiciones que deben darse, el parámetros de interés y un estadístico de prueba adecuado es la siguiente:

¿Qué es una hipótesis estadística?

Una hipótesis estadística es una afirmación acerca de la distribución de una variable aleatoria.

• Si la afirmación es sobre el valor de un parámetro, es una hipótesis estadística paramétrica.
• Si la afirmación es sobre la forma de la distribución de probabilidades, es una hipótesis estadística no paramétrica.

Veamos algunos ejemplos de afirmaciones y establezcamos si son o no son hipótesis estadísticas.

• Afirmación 1: «La molécula de agua está compuesta por dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno».
• Afirmación 2: «La variable X tiene distribución Binomial».
• Afirmación 3: «La media de una muestra de 100 observaciones es de \(\bar x = 45,32\) gramos»
• Afirmación 4: «La media de la variable \(X \sim \left( {\mu ,\sigma } \right)\) es \(\mu = 134\)»
• Afirmación 5: «La media de la variable \(X \sim \left( {\mu ,\sigma } \right)\) es \(\mu < 134\)»

La afirmación 1 predica sobre la composición de una molécula. Será una afirmación… pero no es de tipo «estadístico». Y en particular no dice nada sobre ninguna variable aleatoria. No es una hipótesis estadística.

La afirmación 2 predica sobre la forma que tiene la distribución de una variable aleatoria. Está diciendo algo acerca de una variable aleatoria. Así que podemos decir que es una hipótesis estadística. Pero es una hipótesis estadística no paramétrica.

La afirmación 3 es sobre la media muestral de una variable aleatoria. La media muestral no es un parámetro, sino que es una variable aleatoria. No es una hipótesis estadística porque no afirma nada ni sobre el tipo de distribución (binomial, normal, etc…) ni sobre sus parámetros.

La afirmación 4 sí es una hipótesis estadística (paramétrica) porque asevera que el parámetro media poblacional de cierta variable es igual a 134.

Ejemplo de prueba de hipótesis detallado paso a paso (incluyendo los detalles «técnicos»)

El enunciado

Un fabricante de galletitas produce paquetes en los cuales el peso nominal impreso es de \(500\) gramos. Pero el contenido real es una variable aleatoria con distribución normal. No tienen exactamente \(500\) gramos todos los paquetes. El fabricante, basándose en información histórica, afirma que la media de esa variable X es \(\mu  = 500\) gramos con un desvío estándar de \(5\) gramos. Se desconfía de la afirmación del fabricante acerca de que \(\mu  = 500\) gramos. Se quiere analizar si en realidad el peso promedio de los paquetes es inferior a \(500\) gramos.

Para esto se toma una muestra de tamaño 100, y se obtiene una media muestral de \(497,3\) gramos.

Realizar una prueba de hipótesis con un nivel de significación de \(0,05\).

La variable

La variable sobre la que vamos a trabajar es \(X\): peso real de un paquete de galletitas de 500 gramos de la fábrica.

El enunciado afirma que la distribución de \(X\) es normal. No se conoce \(\mu  \), pero sí se conoce \(\sigma=5  \).

Hipótesis nula e hipótesis alternativa

\({H_0}\) es la hipótesis nula. Hipótesis nula es la hipótesis de no cambio. Es la hipótesis de que todo queda igual. Hay otra hipótesis que es la hipótesis de cambio. Siempre en esta hipótesis va a estar el igual.

\[{H_0}:\mu = 500\]

\({H_1}\) es la hipótesis alternativa. Es complementaría a la nula. Niega a la hipótesis nula.

Las hipótesis son complementarias. La nula tiene el símbolo de igualdad siempre. Entonces en la otra no puede aparecer el igual. En la hipótesis alternativa se utiliza o bien el símbolo de distinto \( \ne \), o bien mayor \( > \) o bien menor \( < \).

\[{H_1}:\mu < 500\]

Error de tipo 1 y error de tipo 2

Uno querría tomar la decisión correcta. Rechazar la hipótesis nula, cuando esta es falsa, es una decisión correcta posible. No rechazar la hipótesis nula, cuando esta es verdadera es otra forma de tomar una decisión correcta.

Pero cuando se toma una decisión basada en información muestral, se pueden cometer errores. Si la hipótesis nula fuera verdadera, y tomamos la decisión de rechazarla estaremos cometiendo un error. Este error se conoce cómo el error de tipo 1. Si la hipótesis nula fuera falsa, y no la rechazamos estaríamos cometiendo otro error. Este otro error se conoce cómo el error de tipo 2.

En un proceso de prueba de hipótesis, no es posible tener garantía absoluta de no estar cometiendo algún error.

La siguiente tabla resume los escenarios posibles.

Error de tipo 1: Si la hipótesis nula es en realidad verdadera, y se la rechaza, se comete el error de tipo 1. También se llama nivel se significación de la prueba. La probabilidad de cometerlo se representa cómo:

\[\alpha = P\left( {\;error\;tipo\;1} \right) = P\left( {R{H_o}|{H_0}esV} \right)\]

Decisión correcta 1: Si la hipótesis nula es en realidad verdadera, y no se la rechaza, se está tomando una decisión correcta. La probabilidad de que ocurra esto se representa:

\[1 – \alpha = P\left( {NoR{H_o}|{H_0}esV} \right)\]

Error de tipo 2: Si la hip’otesis nula es falsa y no se la rechaza, se comete el error de tipo 2. La probabilidad de cocmeterlo se representa cómo:

\[\beta = P\left( {\;error\;tipo\;2} \right) = P\left( {NoR{H_0}|{H_0}esF} \right)\]

Decisión correcta 2: Si la hipótesis nula es falsa,  se la rechaza, se está tomando una decisión correcta. Diferente de la decisión correcta 1, así que le podemos llamar decisión correcta 2. (No es un nombre estándar). La probabilidad de que esto ocurra se conoce cómo «potencia del test» y se representa cómo:

\[1 – \beta = Potencia\;del\;test = P\left( {R{H_0}|{H_0}esF} \right)\]

El nivel de significación (probabilidad de cometer el error de tipo 1) se establece a priori. Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es verdadera. En general el enunciado del ejercicio (o el investigador) establece un nivel de significación.

El error de tipo 1 se considera un error grave, que se quiere evitar. Hay necesidad de controlarlo. \(\alpha \) debe ser pequeño. Valores usuales de \(\alpha \) pueden ser:

\[\alpha = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,01}\\{0,05}\\{0,10}\end{array}{\rm{\;\;\;}}} \right.\]

Estadístico de prueba

Basándonos en que \(X \sim N\left( {\mu ,\sigma } \right)\), y que conocemos \(\sigma \), entonces es posible afirmar que:

\[\frac{{\bar X – \mu }}{{\frac{\sigma }{{\sqrt n }}}} \sim N\left( {0,1} \right)\]

Este es un estadístico de prueba que nos puede servir para realizar la prueba de hipótesis sobre \(\mu \).

En el proceso se asume que \({H_0}\) es verdadera hasta que se demuestre lo contrario (cómo en un juicio se supone la inocencia hasta que se demuestre lo contrario).

Si asumimos que \({H_0}\) es verdadera (\(\mu = 500\)) entonces el estadístico de prueba es:

\[{e_{prueba}} = \frac{{\bar X – 500}}{{\frac{5}{{\sqrt {100} }}}} \sim N\left( {0,1} \right)\]

En el numerador tenemos la diferencia \(\bar X – \mu \) si esa diferencia es «muy negativa» entonces rechazaremos la hipótesis nula (porque significa que \(\bar X\) está muy por debajo de \(\mu \)).

Entonces ¿cómo se decide si se rechaza o no a la hipótesis nula? Los valores que puede tomar el estadístico de prueba de dividen en dos zonas: «la zona de rechazo» y la «zona de no rechazo». Si el estadístico de prueba toma un valor dentro de la zona de rechazo se rechaza la hipótesis nula. Si el estadístico de prueba toma un valor fuera de la zona de rechazo, no se rechaza la hipótesis nula.

Rechazaremos \({H_0}\) si:

\[\frac{{\bar X – 500}}{{\frac{5}{{\sqrt {100} }}}} < Valor\;crítico\]

Más adelante vamos a ver cómo hallar ese valor crítico.

Nivel de significación

En este enunciado se establece que el nivel de significación (probabilidad de cometer el error de tipo 1) es \(\alpha = 0,05\).

Zona de rechazo y regla de decisión

Si el estadístico de prueba cae en zona de rechazo (asumiendo \({H_0}\)verdadera) estaríamos cometiendo el error de tipo 1 (\(R\;{H_0}|\;{H_0}\;es\;V\)). Luego el nivel de significación es igual al área bajo la curva del estadístico de prueba y sobre la región de rechazo.

Entonces: el nivel de significación determina, conjuntamente con la distribución del estadístico de prueba, cuál va a ser el valor crítico que define la zona de rechazo.

\({z_C}\) debe ser aquel valor de la variable normal estándar que acumula un área de 0,05 a su izquierda. Mirando la tabla de probabilidades normales, o bien usando un software, se puede determinar que:

\[{\rm{\Phi }}\left( {{z_C}} \right) = 0,05\; \Rightarrow \;{z_c} = – 1,64\]

Regla de decisión:

• Se rechaza \({H_0}\) si el valor observado del estadístico de prueba es menor o igual a \( – 1,64\).

• No se rechaza \({H_0}\) si el valor observado del estadístico de prueba es mayor que \( – 1,64\).

Calcular el valor observado del estadístico de prueba

Hasta aquí no se utilizó la información recogida en la muestra. Recién ahora tomamos el dato sobre la media muestral observada y reemplazamos en la expresión de estadístico de prueba para obtener el valor observado del estadístico de prueba:

\[{e_{prueba\;,\;\;obs}} = \frac{{497,3 – 500}}{{0,5}} = – 5,4\]

Obtener la conclusión

En general la conclusión tiene dos versiones: una breve, y otra más detallada.

La conclusión breve (o «la decisión»)

Cómo el valor observado del estadístico de prueba -5,4, cae en la zona de rechazo \(\left( { – \infty , – 1,64} \right)\) se decide rechazar la hipótesis nula.

Esta conclusión está muy bien, pero no refiere a la situación general del problema concreto. Solo dice si se rechaza o no la hipótesis nula.

La conclusión detallada

En la conclusión detallada queremos informar:

• El nivel de significación con el que se realiza la conclusión.
• Cuál es la variable en cuestión.
• Cuál es el parámetro en cuestión.
• Si se rechaza o no se rechaza la hipótesis nula a favor de la alternativa.
• Qué implica la decisión tomada en términos del problema concreto

Por ejemplo en este caso podríamos escribir una conclusión detallada así:

Con un nivel de significación de \(0,05\) se rechaza la hipótesis nula, que afirma que la media del peso de los paquetes de galletitas es de \(500\) gramos, a favor de la hipótesis alternativa, que afirma que la media del peso de los paquetes de galletitas es inferior a \(500\) gramos. Habría que re-calibrar la máquina que rellena los paquetes para que la media sea de \(500\) gramos.

Pasos que se dan para realizar una prueba de hipótesis

Después de haber resulto completamente un ejercicio de prueba de hipótesis podemos detectar que se siguió la siguiente secuencia de pasos:

1. Primer paso: Reconocer y definir la o las variables
2. Segundo paso: Formular las hipótesis nula y alternativa
3. Tercer paso: Establecer un estadístico de prueba adecuado
4. Cuarto paso: Seleccionar un nivel de significación
5. Quinto paso: Determinar la zona de rechazo y establecer la regla de decisión
6. Sexto paso: Calcular el valor observado del estadístico de prueba
7. Séptimo paso: Obtener la conclusión

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Primero:\;rechazo\;o\;no\;{H_0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{Luego:\;expresarla\;en\;términos\;del\;problema}\end{array}} \right.\)

Otros problemas de prueba de hipótesis pueden ser muy diferentes. Otras variables, otros estadísticos de prueba, hipótesis diferentes… etc. Pero en todos los problemas de prueba de hipótesis se puede seguir esta secuencia de pasos.

Final

Este texto pretende ser una introducción al tema. Hay mucho que no explicamos acá. No explicamos pruebas a dos colas, para otros parámetros, con dos poblaciones, que es el valor p de una prueba, etc. Eso vamos a escrbirlo en otros posteos.

Por favor dejá un comentario así sabemos si fue útil, o si algo no queda muy claro.