Segundo Parcial de Probabilidad y Estadística Resuelto [26-11-2014]

Esta entrada contiene el enunciado y resolución completa del segundo parcial de probabilidad y estadística de UTN-FRBA tomado el día 26-11-2014. Es un parcial redactado por la profesora Fanny Kaliman.

Como siempre digo… no conviene leer la resolución sin antes intentar resolver el ejercicio. Si se lee la resolución sin intentar hacerlo se pierde el poder del ejercicio. Sí sirve leerlo para verificar o para ayudarse si ya lo pensaron y no sale.

Enunciado del Segundo Parcial de Probabilidad y Estadística [26-11-2014]

 

Ejercicio 1 – Intervalo de confianza para la media

Se desea estimar la media del tiempo empleado por un nadador en una prueba olímpica, para lo cual se cronometran 10 pruebas, obteniéndose una media de 41,5 minutos. Sabiendo que esta variable tiene distribución normal con desvío 0,3 minutos.

a) Obtener un intervalo de confianza con un 95% de confianza

b) ¿Cuántas pruebas habría que cronometrar para que el error en la estimación de la media sea a lo sumo tres segundos?

Resolución del ejercicio 1

Ítem a

La variable es:

\(X:\) tiempo empleado por un nadador en una prueba olímpica.

Se sabe que la distribución es normal y que el desvío es 0,3 minutos.

Pero no se conoce la media \(\mu \):

\[X \sim N\left( {\mu  = ?;\sigma  = 0,3} \right)\]

Cómo no se conoce la media poblacional \(\mu \) se hace una estimación con la media muestral (de una muestra de tamaño \(10\)):

\[\bar x = 41,5{\rm{\;\;}};{\rm{\;\;}}n = 10\]

Recordemos que para el caso en que:

• \(X \sim N\)
• \(\sigma \) es conocida

el intervalo de confianza para la media \(\mu \) con nivel de confianza de \(1 – \alpha \) se calcula así:

\[I{C_{\mu ;1 – \alpha }} = \bar x \pm {z_{1 – \frac{\alpha }{2}}}.\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\]

Si el nivel de confianza es \(1 – \alpha  = 0,95\), debemos hallar \(1 – \frac{\alpha }{2}\):

\[1 – \alpha  = 0,95\]

\[ \Rightarrow \alpha  = 0,05\]

\[ \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = 0,025\]

\[ \Rightarrow 1 – \frac{\alpha }{2} = 0,975\]

Entonces buscamos el valor de la variable normal estándar que acumula un área de \(0,975\) a su izquierda:

\[ \Rightarrow {z_{0,975}} = 1,96\]

Esto se puede buscar con tabla de probabilidades o con software.

Ahora ya podemos reemplazar en la fórmula del intervalo de confianza:

\[I{C_{\mu ;0,95}} = 41,5 \pm 1,96.\frac{{0,3}}{{\sqrt {10} }}\]

\[I{C_{\mu ;0,95}} = 41,5 \pm 0,19\]

\[I{C_{\mu ;0,95}} = \left( {41,31{\rm{\;}};41,69} \right)\]

Ítem b

En la expresión del intervalo de confianza el error es la parte que sumamos y restamos:

\[I{C_{\mu ;1 – \alpha }} = \bar x \pm \color{red}{{z_{1 – \frac{\alpha }{2}}}.\frac{\sigma }{{\sqrt n }}}\]

Queremos que el error sea cómo máximo de 3 segundos.

Pero \(X\) viene expresada en minutos.

Entonces calculemos cuantos minutos son 3 segundos:

\[\frac{{60{\rm{\;}}segundos}}{{1{\rm{\;}}minutos}} = \frac{{3{\rm{\;}}segundos}}{x}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{1}{{20}}minutos = 0,05{\rm{\;}}minutos\]

Igualemos entonces el error de estimación a \(0,05\):

\[{z_{1 – \frac{\alpha }{2}}}.\frac{\sigma }{{\sqrt n }} = 0,05\]

Reemplazando \({z_{0,975}} = 1,96\) y \(\sigma  = 0,3\):

\[1,96.\frac{{0,3}}{{\sqrt n }} = 0,05\]

Despejamos \(n\):

\[n = {\left( {\frac{{1,96}}{{0,05}}.0,3} \right)^2} = 138,29\]

Entonces se deben tomar \(139\) mediciones o más para que el error se reduzca a menos de \(0,05\).

Resolución del ejercicio 2

Antes de leer la resolución, por favor intentá hacerlo. Es lo más productivo.

Si no te sale, te doy una ayuda:

• Leé esta introducción a prueba de hipotesis
• Planteá cada uno de los pasos

Acá está la resolución

 

Ejercicio 3 – Regresión lineal

Un agrónomo quiere estudiar la relación entre la cantidad de agua aplicada (en \({m^3}\)) y el correspondiente rendimiento de cosecha (en toneladas por hectárea), obteniendo:

\[\sum {x_i} = 80\;\sum {y_i} = 19,8\;\;\;\;\sum x_i^2 = 1920\;\sum y_i^2 = 100,28\;\;\]

\[\;\sum \left( {{x_i}{y_i}} \right) = 422,4\;\;\;{s^2} = 0,046\]

a) Encontrar la recta de regresión estimada y estimar el rendimiento medio si la cantidad de agua aplicada es 20 \({m^3}\)

b) ¿Es significativa la regresión con un nivel de significación del 5%?

Resolución del ejercicio 3

Ítem a

Usando la calculadora en modo estadístico para regresión lineal podemos hallar la ecuación de la recta de regresión estimada:

\[\hat y = 0,0825.x + 3,3\]

O también es posible usando las ecuaciones:

\[{b_1} = \frac{{{S_{xy}}}}{{{S_{xx}}}} = \frac{{\sum xy – \frac{1}{n}\sum x\sum y}}{{\sum {x^2} – \frac{1}{n}{{\left( {\sum x} \right)}^2}}} = \frac{{422,4 – \frac{1}{4}.80.19,8}}{{1920 – \frac{1}{4}{{\left( {80} \right)}^2}}} \cong 0,0825\]

\[{b_0} = \bar y – {b_1}.\bar x = \frac{{19,8}}{4} – 0,0825.\frac{{80}}{4} = 3,3\]

Obviamente es mucho más práctico hacerlo con la calculadora 🙂

Para estimar el rendimiento si la cantidad de agua aplicada es de \(20\;{m^3}\)… simplemente reemplazamos en la ecuación de la recta de regresión estimada por \(x = 20\):

\[\hat y = 0,0825.20 + 3,3 = 4,95\]

Entonces cuando la cantidad de agua aplicada es de \(20\;{m^3}\), podemos estimar que el rendimiento será de \(4,95\) toneladas por hectárea.

Esta es una estimación puntual.

También se podría hacer una estimación por intervalo.

Pero el enunciado no pide una estimación por intervalo, sino que sólo pide “una estimación”.

Así que podemos conformarnos con la puntual 🙂

A continuación, graficamos el diagrama de dispersión (no se pide, pero lo incluimos igual):

Ítem b

Para probar si la regresión es significativa, las hipótesis son:

\[{H_0}:\;{\beta _1} = 0\]

\[{H_1}:\;{\beta _1} \ne 0\]

El estadístico de prueba:

\[{e_p} = \frac{{{b_1} – {\beta _1}}}{{\frac{s}{{\sqrt {{S_{xx}}} }}}} \sim {t_{n – 2}}\]

La zona de rechazo es bilateral en una curva \(t\) de student con \(2\) grados de libertad.

Cómo \(\alpha  = 0,05\), pero la zona de rechazo es bilateral, entonces queda \(0,025\) de área en cada lado.

 

\[{t_{2;0,975}} = 4,303\]

Para buscar \({t_{2;0,975}}\) (es decir el valor de la variable \(t\) de Student que deja a su izquierda un área de \(0,975\)) tenemos que ir a la tabla de probabilidades de la \(t\) de Student. (O usar software cómo Probability Distributions o GeoGebra)

Ahora calculemos el valor observado del estadístico de prueba:

\[{e_p} = \frac{{0,0825 – 0}}{{\frac{{\sqrt {0,046} }}{{\sqrt {320} }}}} \cong 6,88\]

Cómo el estadístico de prueba cayó en la zona de rechazo decidimos rechazar la hipótesis nula, en favor de la alternativa.

La regresión lineal es significativa al nivel del \(5\% \).

Ejercicio 4 (teórico) – Estimación

a) Defina el error cuadrático medio de un estimador, ¿para qué sirve?

b) Demuestre que \(ECM\left( {\hat \theta } \right) = Var\left( \theta \right) + {B^2}\) siendo \(B = sesgo\left( {\hat \theta } \right)\)

Resolución del ejercicio 4

Ítem a

Si \(\hat \theta \) es un estimador del parámetro \(\theta \), el error cuadrático medio del estimador se define como:

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = E\left[ {{{\left( {\hat \theta  – \theta } \right)}^2}} \right]\]

Notemos que el \(ECM\) mide que tan “próximo” o lejano está un estimador \(\hat \theta \) del parámetro \(\theta \). ¿Cómo sabemos que mide eso? Porque está definido cómo la esperanza de los cuadrados de las distancias de \(\hat \theta \) y \(\theta \). Cuanto mayores sean esas distancias, mayor será el error cuadrático medio.

¿Para qué sirve el error cuadrático medio?

Cómo es posible definir más de un estimador para un parámetro, se suele usar el error cuadrático medio del estimador para elegir al mejor estimador. Cuanto menor sea el error cuadrático medio, mejor es el estimador porque más cercanos son sus valores al verdadero valor del parámetro.

Ítem b

Si \(\hat \theta \) es un estimador del parámetro \(\theta \), el error cuadrático medio del estimador se define como:

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = E\left[ {{{\left( {\hat \theta  – \theta } \right)}^2}} \right]\]

Desarrollando el cuadrado del binomio,

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = E\left[ {{{\hat \theta }^2} – 2\theta \hat \theta  + {\theta ^2}} \right]\]

Aplicamos propiedad de linealidad de la esperanza:

\[(ECM\left( {\hat \theta } \right) = E\left( {{{\hat \theta }^2}} \right) – 2E\left( \theta  \right).E\left( {\hat \theta } \right) + E\left( {{\theta ^2}} \right)\]

\(\theta \) es una constante así que podemos escribir:

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = E\left( {{{\hat \theta }^2}} \right) – 2\theta .E\left( {\hat \theta } \right) + {\theta ^2}\]

Sumamos y restamos \(\color{green}{{E^2}\left( {\hat \theta } \right)}\) (este es el paso más «creativo» de la deducción):

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = E\left( {{{\hat \theta }^2}} \right) – 2\theta .E\left( {\hat \theta } \right) + {\theta ^2} + \color{green}{{E^2}\left( {\hat \theta } \right) – {E^2}\left( {\hat \theta } \right)}\]

Y ahora veamos que si juntamos \(\color{red}{E\left( {{{\hat \theta }^2}} \right)}\) con \(\color{red}{ – {E^2}\left( {\hat \theta } \right)}\) tenemos la varianza de \(\hat \theta \;\):

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = \color{red}{E\left( {{{\hat \theta }^2}} \right)} – 2\theta .E\left( {\hat \theta } \right) + {\theta ^2} + {E^2}\left( {\hat \theta } \right) \color{red}{- {E^2}\left( {\hat \theta } \right)}\]

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) =\color{red}{ \;V\left( {\hat \theta } \right)} \color{#A0F}{- 2\theta .E\left( {\hat \theta } \right) + {\theta ^2} + {E^2}\left( {\hat \theta } \right)}\]

Dónde podemos encontrar que hay un trinomio cuadrado perfecto

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = V\left( {\hat \theta } \right) + \color{#A0F}{{\left[ {E\left( {\hat \theta } \right) – \theta } \right]^2}}\]

Veamos que la expresión que aparece al cuadrado es la diferencia de esperanza de \(\hat \theta \) con el valor de \(\theta \). Esa diferencia se llama sesgo: \(B = E\left( {\hat \theta } \right) – \theta \):

\[ECM\left( {\hat \theta } \right) = V\left( {\hat \theta } \right) + {B^2}\]

Es una buena característica que un estimador tenga sesgo cero, porque justamente se reduce el error cuadrático medio.

Ejercicio 5 (teórico) – Prueba de hipótesis

En cada caso indicar la respuesta correcta justificando su respuesta:

a) El nivel de significación de una prueba de hipótesis es: i) la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo verdadera; ii) la probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo verdadera; iii) la probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo falsa

b) Un estadístico de prueba es: i) una variable aleatoria; ii) un parámetro iii) no varía de una muestra a otra, su valor es constante.

Resolución del ejercicio 5

Ítem a

Para responder a este tipo de preguntas es recomendable pensar primero por fuera de las opciones que se ofrecen. ¿Qué es el nivel de significación de una prueba de hipótesis? Deberíamos saber que es la probabilidad de cometer el error de tipo 1. Es decir, la probabilidad de rechazar \({H_0}\) cuando \({H_0}\) es verdadera.

Así que claramente nos quedamos con la opción i cómo correcta.

Ítem b

Igual que en el ítem a, primero recordemos que es un estadístico de prueba.

Un estadístico de prueba es: una variable aleatoria, de distribución conocida, que contiene al parámetro sobre el que trata la prueba de hipótesis y que contiene a un estimador de ese parámetro.

Así que la respuesta correcta es la i.

Comentario final

Si llegaste leyendo hasta acá… puff !

Felicitaciones por la capacidad de concentración! Y gracias!

Si querés podés dejar un comentario para probarlo 🙂

O también si quedó alguna duda, o encontrás algún error.