Variable Aleatoria Continua: Ejercicios Resueltos

Vamos a ir publicando en este posteo muchos ejercicios resueltos de variable aleatoria continua.

Las variables aleatorias continuas son esas variables aleatorias que tienen cómo recorrido un conjunto infinito no numerable. (Para simplificar se podría pensar en que entre dos valores de la variable existen infinitos valores intermedios. En general, tiempo, volumen, peso, áreas son variables continuas.)

Es necesario entender que es una variable aleatoria, que es la función de densidad de probabilidad, que es la función de distribución, la esperanza, la varianza, y las propiedades de esperanza y varianza.

¡Empecemos !

(Cualquier duda podés dejarla en los comentarios, o escribirme por acá)

Ejercicio resuelto de variable aleatoria continua #1

La longitud de ciertos tornillos (en centímetros) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{4}\left( { – {x^2} + 4x – 3} \right)\;\;\;\;si\;\;\;1 \le x \le 3}\\{0\;\;\;\;\;\;en\;otro\;punto}\end{array}} \right.\]

a) Para hacer cierto trabajo se prefieren tornillos con longitud entre 1,7 cm y 2,4 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo tenga dicha longitud?

b) Si la longitud de cada tornillo es independiente de la longitud de otro tornillo. ¿Cuál es la probabilidad de que tres tornillos tengan la longitud que se prefiere?

c) Si para construir lo que se necesita con uno de estos tornillos hay que hacer un gasto de $10 por cm de longitud que tenga el tornillo más un gasto fijo de $4. ¿Cuál es el gasto medio esperado por un tornillo?

Resolución del ejercicio 1

Ítem a

La variable es \(X\): longitud de ciertos tornillos (en cm).

Calculamos la probabilidad pedida \(P\left( {1,7 \le X \le 2,4} \right)\) cómo el área bajo la curva de densidad entre \(x = 1,7\) y \(x = 2,4\):

\[P\left( {1,7 \le X \le 2,4} \right) = \mathop \smallint \limits_{1,7}^{2,4} \frac{3}{4}\left( { – {x^2} + 4x – 3} \right)dx\]

\[ = \frac{3}{4}\left[ { – \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} – 3x} \right]_{1,7}^{2,4}\]

\[ = \frac{3}{4}\left[ {\left( { – \frac{{{{(2,4)}^3}}}{3} + 2{{\left( {2,4} \right)}^2} – 3\left( {2,4} \right)} \right) – \left( { – \frac{{{{\left( {1,7} \right)}^3}}}{3} + 2{{\left( {1,7} \right)}^2} – 3\left( {1,7} \right)} \right)} \right]\]

\[ = 0,50225\]

Una gráfica de la curva de densidad \(f\) mostrando el área comprendida entre \(x = 1,7\) y \(x = 2,4\) es la siguiente:

Ítem b

Si llamamos \({T_i}\) al suceso de que el tornillo \(i\) tiene la longitud que se prefiere. La probabilidad que buscamos puede expresarse así:

\[P\left( {{T_1} \cap {T_2} \cap {T_3}} \right)\]

Cómo son sucesos independientes:

\[P\left( {{T_1} \cap {T_2} \cap {T_3}} \right) = P\left( {{T_1}} \right)P\left( {{T_2}} \right)P\left( {{T_3}} \right)\]

Pero ya conocemos \(P\left( {{T_i}} \right)\) porque la calculamos en el ítem a. Luego:

\[P\left( {{T_1} \cap {T_2} \cap {T_3}} \right) = {\left( {0,50225} \right)^3} \cong 0,1267\]

Ítem c

La variable gasto \(G\) depende de la variable \(X\) de la siguiente forma:

\[G = 10X + 4\]

Aplicando esperanza a cada miembro y usando propiedades de la esperanza obtenemos:

\[E\left( G \right) = 10E\left( X \right) + 4\]

Entonces debemos calcular \(E\left( X \right)\).

\[E\left( X \right) = \mathop \smallint \limits_{ – \infty }^\infty  f\left( x \right)xdx\]

\[ = \mathop \smallint \limits_1^3 \frac{3}{4}\left( { – {x^2} + 4x – 3} \right).xdx\]

\[ = \frac{3}{4}\mathop \smallint \limits_1^3 \left( { – {x^3} + 4{x^2} – 3x} \right)dx\]

\[ = \frac{3}{4}.\left[ { – \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{4{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2}} \right]_1^3\;\]

\[ = \frac{3}{4}.\left[ {\left( { – \frac{{{3^4}}}{4} + \frac{{{{4.3}^3}}}{3} – \frac{{{{3.3}^2}}}{2}} \right) – \left( { – \frac{{{1^4}}}{4} + \frac{{{{4.1}^3}}}{3} – \frac{{{{3.1}^2}}}{2}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{3}{4}.\left[ {\left( { – \frac{{81}}{4} + \frac{{108}}{3} – \frac{{27}}{2}} \right) – \left( { – \frac{1}{4} + \frac{4}{3} – \frac{3}{2}} \right)} \right]\]

\[ = 2\]

Notemos que la función de densidad es simétrica respecto de x=2. Así que es razonable que hallamos obtenido que \(E\left( X \right) = 2\).

Entonces:

\[E\left( G \right) = 10.2 + 4 = 24\]

Ejercicio resuelto de variable aleatoria continua #2

Las marcas obtenidas por un lanzador (distancias medidas en decámetros) es una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad:

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k\;\frac{{{x^2}}}{9}\;\;\;\;\;\;\;si\;0 \le x \le 3}\\{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;en\;el\;resto}\end{array}} \right.\]

a) Encontrar el valor de k.

b) Encontrar la probabilidad de que la distancia conseguida por el lanzador sea mayor a 2 decámetros.

c) Encontrar la probabilidad de que la marca sea superior a 2,5 decámetros si se sabe que es superior a 2 decámetros.

d) Encontrar la distancia media esperada.

Resolución del ejercicio 2

Ítem a

Si \(f\) es función de densidad, entonces el área bajo la curva en todo su recorrido debe ser 1:

\[\mathop \smallint \limits_0^3 k.\frac{{{x^2}}}{9}dx = \left[ {k.\frac{{{x^3}}}{{9.3}}} \right]_0^3 = k = 1\]

Ítem b

Podemos calcular la probabilidad de que \(X > 2\) cómo el área bajo la curva de densidad:

\[P\left( {X > 2} \right) = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{x^2}}}{9}dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{{9.3}}} \right]_2^3 = 1 – \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}} \cong 0,703\]

Ítem c

La “probabilidad de que la marca sea superior a 2,5 decámetros si se sabe que es superior a 2 decámetros” es una probabilidad condicional:

\[P\left( {X > 2,5\;\left| {\;X} \right\rangle 2} \right)\]

Aplicando la definición de probabilidad condicional:

\[P\left( {X > 2,5\;\left| {\;X} \right\rangle 2} \right) = \frac{{P\left( {\left\{ {X > 2,5} \right\} \cap \left\{ {X > 2} \right\}} \right)}}{{P\left( {X > 2} \right)}}\]

La intersección entre \(\left\{ {X > 2,5} \right\}\) y \(\left\{ {X > 2} \right\}\) es \(\left\{ {X > 2,5\;} \right\}\):

\[P\left( {X > 2,5\;\left| {\;X} \right\rangle 2} \right) = \frac{{P\left( {X > 2,5} \right)}}{{P\left( {X > 2} \right)}}\]

El denominador ya fue calculado en el ítem b, así que sólo queda calcular \(P(X > 2,5)\):

\[P\left( {X > 2,5} \right) = \mathop \smallint \limits_{2,5}^3 \frac{{{x^2}}}{9}dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{{9.3}}} \right]_{2,5}^3 = 1 – \frac{{\frac{{125}}{8}}}{{27}} = 1 – \frac{{125}}{{216}} = \frac{{91}}{{216}} \cong 0,421\]

\[P\left( {X > 2,5\;\left| {\;X} \right\rangle 2} \right) = \frac{{P\left( {X > 2,5} \right)}}{{P\left( {X > 2} \right)}} \cong 0,5993\]

Ítem d

Recordemos que la esperanza matemática de una variable aleatoria continua se define:

\[E\left( X \right) = \;\mathop \smallint \limits_{ – \infty }^{ + \infty } x.f\left( x \right)dx\]

Entonces:

\[E\left( X \right) = \mathop \smallint \limits_0^3 x.\frac{{{x^2}}}{9}dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{{9.4}}} \right]_0^3 = \frac{9}{4} = 2,25\]

 

Ejercicio resuelto de variable aleatoria continua #3

La vida, en horas, de cierto tipo de lámparas varía aleatoriamente según la siguiente función de densidad:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{k}{{{x^2}}}\;\;si\;\;\;x \ge 100\;\;hs}\\{0\;\;\;\;si\;x < 100\;\;hs}\end{array}} \right.\)

a) Encuentre el valor de k para la función de densidad dada.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara de este tipo tenga una vida útil mayor a 200 horas?

c) Cierto artefacto tiene tres de estas lámparas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres lámparas duren más de 200 horas?

Resolución del ejercicio 3

Ítem a

La variable aleatoria continua es:

\(X\): tiempo de vida de un cierto tipo de lámparas medido en horas.

Las funciones de densidad deben cumplir que el área bajo la curva en todo el recorrido de la variable es igual a 1:

\[\mathop \smallint \limits_{100}^\infty  \frac{k}{{{x^2}}}dx = k\mathop \smallint \limits_{100}^\infty  {x^{ – 2}}dx = 1\]

Resolvamos esta integral y despejemos \(k\):

\[k.\left[ {\frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right]_{100}^\infty  = k.\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { – \frac{1}{x}} \right) – \left( { – \frac{1}{{100}}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{k}{{100}} = 1\]

\[ \Rightarrow k = 100\]

A continuación, una gráfica de la función de densidad:

Ítem b

Calculamos la probabilidad de que \(X > 200\):

\[P\left( {X > 200} \right) = 1 – P\left( {X \le 200} \right)\]

\[P\left( {X \le 200} \right) = \mathop \smallint \limits_{100}^{200} \frac{{100}}{{{x^2}}}dx = 0,5\]

\[P\left( {X > 200} \right) = 0,5\]

Ítem c

Un artefacto usa tres de esas lámparas, y queremos calcular la probabilidad de que las tres lámparas funcionen después de 200 horas:

Podríamos definir una nueva variable:  \(Y\): cantidad de lámparas que funcionan de un total de tres. Esa variable sería una variable binomial con \(n = 3\) y \(p = 0,5\).

La probabilidad buscada es \(P\left( {Y = 3} \right)\):

\[P\left( {Y = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\3\end{array}} \right){0,5^3}{0,5^0} = 0,125\]